条件概率及有关公式(1).ppt

第三节 条件概率及有关公式 第一章 概率论的基本概念 在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) P(A) P(A )=1/6， 例1. 掷一颗均匀骰子，A=掷出2点， B=掷出偶数点，P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可 能结果构成的集合就是B， 于是 P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素，它们的出现 等可能的，其中只有1个在集A中， 容易看到 P(A|B) 若事件B已发生,则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点 必属于AB. 由于我们已经知道 B已发生, 故B变成了新的样本 空间, 于是 有(1). 2. 条件概率的定义 定义: 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1) 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 条件概率也是概率, 故具有概率的性质： q 非负性 q 规范性 q 可列可加性 q q 例2. 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率. 解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为 例1 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 称为乘法公式 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) 推广：当P(A1A2An-1)0时，有： 特别地，有： P (A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2) 例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率. 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品 （1） 例3 （2）取两次,第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率. 例4(波里亚罐子模型). 一个罐子中包含b个 白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜 色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球 具有相同颜色的球. 这种手续进行四次, 试求 第一、二次取到白球且第三、 四次取到红球 的概率. b个白球, r个红球 分析: 随机取一个球,观看颜 色后放回罐中,并且再加进c 个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球， 第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4 =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3) P(W1W2R3R4)(乘法公式) b个白球, r个红球 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 二、全概率公式与贝叶斯公式 样本空间的划分： 称为全概率公式. 则对任一事件B，有 定理:设 为随机试验E的样本空间, A1,A2,An 是样本空间的一个划分,且有P(Ai)0, i =1,2,n, 全概率公式的说明: “全”部概率P(B)被 分解成了许多部分 之和. (1)它的理论和实用意义在于: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B 总是伴随着某个Ai出现(分类），适当地去构 造这一组Ai往往可以简化计算. (2).全概率公式的另一个角度理解: 某一事件B的发生有各种可能的原因 Ai(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B 发生的概率是 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 BP(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 例5. 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号 箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任 意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球 即 B= A1BA2B A3B， B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 1 2 3 且A1B, A2B, A3B两两互斥 由全概率公式: 代入数据得：P(B)=8/15 =P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 例5 . 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号 箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任 意摸出一球，求取得红球的概率. 1 2 3 例 2. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被 一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击 落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击 落, 求飞机被击落的概率. 设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3 由全概率公式: P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 则 B=A1BA2BA3B 解 依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 可求得: 为求P(Ai ) ,设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 代入计算得 :P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14. 于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 即飞机被击落的概率为0.458. (该球取自哪号箱的 可能性最大?) 实际中还有一类问题，是“已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的 是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各 原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率. 123 1红4白 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式 说明: 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导致A 发生的每个原因的概率. 它可以帮助人们确定某 结果(事件A )发生的最可能原因. 定理(贝叶斯公式):设实验E的样本空间为 , B 为E的事件, A1,A2,An是 的一个划分,且 P(B)0, P(Ai)0，i =1,2,n, ，则 例 3. 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对 一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对 这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了 一个人，试验反应是阳性, 问此人是癌症患者 的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 解:设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性， 求P(C|A). 由贝叶斯公式, 可得: 代入数据计算得 :P(CA)= 0.1066 例4 对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良 好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障 时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调 整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件 产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？ 解 设 A=产品是合格品, B=机器调整得良好 显然,构成了必然事件的一个划分,由贝叶斯公 式,所求的概率为 已知 B1 Bn AB1 AB2 ABn 全概率公式 A Bayes公式 全概率公式与Bayes 公式 B2 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 三、小结 乘法定理 例3 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱, 三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10 箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率. 设 A 为事件“取得的产品为正品