2012年全国各地中考数学压轴题汇编四.doc

湖北省武汉为明实验学校2012年全国各地中考数学压轴题汇编四（含详细答案）【41.2012长沙】26如图半径分别为m，n（0mn）的两圆o1和o2相交于p，q两点，且点p（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，o1与x轴，y轴分别切于点m，点n，o2与x轴，y轴分别切于点r，点h（1）求两圆的圆心o1，o2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心o1，o2之间的距离d；（3）令四边形po1qo2的面积为s1，四边形rmo1o2的面积为s2试探究：是否存在一条经过p，q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由解答：解：（1）由题意可知o1（m，m），o2（n，n），设过点o1，o2的直线解析式为y=kx+b，则有：（0mn），解得，所求直线的解析式为：y=x（2）由相交两圆的性质，可知p、q点关于o1o2对称p（4，1），直线o1o2解析式为y=x，q（1，4）如解答图1，连接o1qq（1，4），o1（m，m），根据两点间距离公式得到：o1q=又o1q为小圆半径，即qo1=m，=m，化简得：m210m+17=0 如解答图1，连接o2q，同理可得：n210n+17=0 由，式可知，m、n是一元二次方程x210x+17=0 的两个根，解得：x=5，0mn，m=5，n=5+o1（m，m），o2（n，n），d=o1o2=8（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a0如解答图2，连接pq由相交两圆性质可知，pqo1o2p（4，1），q（1，4），pq=，又o1o2=8，s1=pqo1o2=8=；又s2=（o2r+o1m）mr=（n+m）（nm）=；=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1抛物线过点p（4，1），q（1，4），解得，抛物线解析式为：y=ax2（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax2（5a+1）x+5+4a=0，设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|=1，（x1x2）2=1，（x1+x2）24x1x2=1，即（）24（）=1，化简得：8a210a+1=0，解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a0）矛盾，不存在这样的抛物线【42. 2012六盘水】25如图1，已知abc中，ab=10cm，ac=8cm，bc=6cm如果点p由b出发沿ba方向点a匀速运动，同时点q由a出发沿ac方向向点c匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接pq，设运动的时间为t（单位：s）（0t4）解答下列问题：（1）当t为何值时，pqbc（2）设aqp面积为s（单位：cm2），当t为何值时，s取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段pq恰好把abc的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把aqp沿ap翻折，得到四边形aqpq那么是否存在某时刻t，使四边形aqpq为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。专题：代数几何综合题；压轴题。分析：（1）由pqbc时的比例线段关系，列一元一次方程求解；（2）如解答图1所示，过p点作pdac于点d，构造比例线段，求得pd，从而可以得到s的表达式，然后利用二次函数的极值求得s的最大值；（3）要点是利用（2）中求得的aqp的面积表达式，再由线段pq恰好把abc的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段pq恰好把abc的面积平分；（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得pq、qd和pd的长度；然后在rtpqd中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于aqp面积的2倍，从而可以利用（2）中aqp面积的表达式，这样可以化简计算解答：解：ab=10cm，ac=8cm，bc=6cm，由勾股定理逆定理得abc为直角三角形，c为直角（1）bp=2t，则ap=102tpqbc，即，解得t=，当t=s时，pqbc（2）如答图1所示，过p点作pdac于点dpdbc，即，解得pd=6ts=aqpd=2t（6t）=t2+6t=（t）2+，当t=s时，s取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段pq恰好把abc的面积平分，则有saqp=sabc，而sabc=acbc=24，此时saqp=12由（2）可知，saqp=t2+6t，t2+6t=12，化简得：t25t+10=0，=（5）24110=150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段pq恰好把abc的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形aqpq为菱形，则有aq=pq=bp=2t如答图2所示，过p点作pdac于点d，则有pdbc，即，解得：pd=6t，ad=8t，qd=adaq=8t2t=8t在rtpqd中，由勾股定理得：qd2+pd2=pq2，即（8t）2+（6t）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=，t=5s时，aq=10cmac，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，saqp=t2+6ts菱形aqpq=2saqp=2（t2+6t）=2（）2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形aqpq为菱形，此时菱形的面积为cm2点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题【43. 2012攀枝花】23如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd是菱形，顶点acd均在坐标轴上，且ab=5，sinb=（1）求过acd三点的抛物线的解析式；（2）记直线ab的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线ab与（1）中抛物线的另一个交点为e，p点为抛物线上ae两点之间的一个动点，当p点在何处时，pae的面积最大？并求出面积的最大值考点：二次函数综合题。专题：动点型。分析：（1）由菱形abcd的边长和一角的正弦值，可求出ocodoa的长，进而确定acd三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式（2）首先由ab的坐标确定直线ab的解析式，然后求出直线ab与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分（3）该题的关键点是确定点p的位置，ape的面积最大，那么sape=aeh中h的值最大，即点p离直线ae的距离最远，那么点p为与直线ab平行且与抛物线有且仅有的唯一交点解答：解：（1）四边形abcd是菱形，ab=ad=cd=bc=5，sinb=sind=；rtocd中，oc=cdsind=4，od=3；oa=adod=2，即：a（2，0）、b（5，4）、c（0，4）、d（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；抛物线：y=x2+x+4（2）由a（2，0）、b（5，4）得直线ab：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时，2x5（3）sape=aeh，当p到直线ab的距离最远时，sabc最大；若设直线lab，则直线l与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点p；设直线l：y=x+b，当直线l与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直线l：y=x+；可得点p（，）由（2）得：e（5，），则直线pe：y=x+9；则点f（，0），af=oa+of=；pae的最大值：spae=spaf+saef=（+）=综上所述，当p（，）时，pae的面积最大，为点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路【44. 2012山西】26综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于ab两点，与y轴交于点c，点d是该抛物线的顶点（1）求直线ac的解析式及bd两点的坐标；（2）点p是x轴上一个动点，过p作直线lac交抛物线于点q，试探究：随着p点的运动，在抛物线上是否存在点q，使以点ap、q、c为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线ac上找一点m，使bdm的周长最小，求出m点的坐标考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点a在点b的左侧，ab的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3c点的坐标为（0，3）设直线ac的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线ac的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点d的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点q，当点q在q1位置时，q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点q1的坐标为（2，3）；当点q在点q2位置时，点q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点q2坐标为（1+，3）；当点q在q3位置时，点q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点q有三个，分别为：q1（2，3），q2（1+，3），q3（1，3） （3）点b作bbac于点f，使bf=bf，则b为点b关于直线ac 的对称点连接bd交直线ac与点m，则点m为所求，过点b作bex轴于点e1和2都是3的余角，1=2rtaocrtafb，由a（1，0），b（3，0），c（0，3）得oa=1，ob=3，oc=3，ac=，ab=4，bf=，bb=2bf=，由1=2可得rtaocrtbeb，即be=，be=，oe=beob=3=b点的坐标为（，）设直线bd的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线bd的解析式为：y=x+，联立bd与ac的直线解析式可得：，解得，m点的坐标为（，）【45.2012黄石】25.（本小题满分10分）已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，.请你用含有的表达式表示出的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则，两点间的距离为）【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；配方法【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值（2），因此将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线c2的解析式；在rtoab中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出aob的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定oab的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数oa的解析式【解答】解：（1）抛物线过（,）点，3aa 分x2bxx2bx=的两根为x1,x2且且bb 分x2x（x）抛物线的顶点坐标为（，） 分（2）x，显然当x时，才有 分（3）方法一：由平移知识易得的解析式为：yx2 分(m，m)，b（n，n）aob为rtoa+ob=abmmnn（mn）（mn）化简得：m n 分aob=m naobaob的最小值为，此时m,(,)分直线oa的一次函数解析式为x分方法二：由题意可求抛物线的解析式为：（1分）b(n，n2)a(m，m2)ocdyx，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则由 得 即 （1分）由（2）知：当且仅当，取得最小值1此时的坐标为（，）（2分）一次函数的解析式为（1分）【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用【46.2012广安】26如图，在平面直角坐标系xoy中，abx轴于点b，ab=3，tanaob=，将oab绕着原点o逆时针旋转90，得到oa1b1；再将oa1b1绕着线段ob1的中点旋转180，得到oa2b1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点b、b1、a2（1）求抛物线的解析式（2）在第三象限内，抛物线上的点p在什么位置时，pbb1的面积最大？求出这时点p的坐标（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点q，使点q到线段bb1的距离为？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）首先根据旋转的性质确定点b、b1、a2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）求出pbb1的面积表达式，这是一个关于p点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出pbb1面积的最大值；值得注意的是求pbb1面积的方法，如图1所示；（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出qbb1的面积，然后解一元二次方程求得q点的坐标解答：解：（1）abx轴，ab=3，tanaob=，ob=4，b（4，0），b1（0，4），a2（3，0）抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点b、b1、a2，解得抛物线的解析式为：y=x2+x4（2）点p是第三象限内抛物线y=x2+x4上的一点，如答图1，过点p作pcx轴于点c设点p的坐标为（m，n），则m0，n0，n=m2+m4于是pc=|n|=n=m2m4，oc=|m|=m，bc=oboc=|4|m|=4+mspbb1=spbc+s梯形pb1ocsobb1=bcpc+（pc+ob1）ocobob1=（4+m）（m2m4）+（m2m4）+4（m）44=m2m=（m+2）2+当m=2时，pbb1的面积最大，这时，n=，即点p（2，）（3）假设在第三象限的抛物线上存在点q（x0，y0），使点q到线段bb1的距离为如答图2，过点q作qdbb1于点d由（2）可知，此时qbb1的面积可以表示为：（x0+2）2+，在rtobb1中，bb1=sqbb1=bb1qd=2，（x0+2）2+=2，解得x0=1或x0=3当x0=1时，y0=4；当x0=3时，y0=2，因此，在第三象限内，抛物线上存在点q，使点q到线段bb1的距离为，这样的点q的坐标是（1，4）或（3，2）点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握【47. 2012张家界】25如图，抛物线y=x2+x+2与x轴交于ca两点，与y轴交于点b，ob=4点o关于直线ab的对称点为d，e为线段ab的中点（1）分别求出点a点b的坐标；（2）求直线ab的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点d，求k值；（4）两动点p、q同时从点a出发，分别沿abao方向向bo移动，点p每秒移动1个单位，点q每秒移动个单位，设poq的面积为s，移动时间为t，问：s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）令y=0，即x2+x+2=0；解得 x1=，x2=2c（，0）、a（2，0）令x=0，即y=2，b（0，2）综上，a（2，0）、b（0，2）（2）令ab方程为y=k1x+2因为点a（2，0）在直线上，0=k12+2k1=直线ab的解析式为y=x+2（3）由a（2，0）、b（0，2）得：oa=2，ob=2，ab=4，bao=30，doa=60；od与o点关于ab对称od=oa=2d点的横坐标为，纵坐标为3，即d（，3）因为y=过点d，3=，k=3（4）ap=t，aq=t，p到x轴的距离：apsin30=t，oq=oaaq=2t；sopq=（2t）t=（t2）2+；依题意，得0t4当t=2时，s有最大值为【48. 2012宜宾】22如图，抛物线y=x22x+c的顶点a在直线l：y=x5上（1）求抛物线顶点a的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点b，与x轴交于点cd（c点在d点的左侧），试判断abd的形状；（3）在直线l上是否存在一点p，使以点p、abd为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）顶点a的横坐标为x=1，且顶点a在y=x5上，当x=1时，y=15=4，a（1，4）（2）abd是直角三角形将a（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，b（0，3）当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3c（1，0），d（3，0），bd2=ob2+od2=18，ab2=（43）2+12=2，ad2=（31）2+42=20，bd2+ab2=ad2，abd=90，即abd是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点a（0，5），交x轴于点f（5，0）oe=of=5，又ob=od=3oef与obd都是等腰直角三角形bdl，即pabd则构成平行四边形只能是padb或pabd，如图，过点p作y轴的垂线，过点a作x轴的垂线并交于点c设p（x1，x15），则g（1，x15）则pc=|1x1|，ag=|5x14|=|1x1|pa=bd=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2，4p（2，7），p（4，1）存在点p（2，7）或p（4，1）使以点abdp为顶点的四边形是平行四边形【49. 2012武汉】25如图1，点a为抛物线c1：y=x22的顶点，点b的坐标为（1，0）直线ab交抛物线c1于另一点c（1）求点c的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线ab于点d，交抛物线c1于点e，平行于y轴的直线x=a交直线ab于f，交抛物线c1于g，若fg：de=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线c1向下平移m（m0）个单位得到抛物线c2，且抛物线c2的顶点为点p，交x轴于点m，交射线bc于点nnqx轴于点q，当np平分mnq时，求m的值考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当x=0时，y=2；a（0，2）设直线ab的解析式为y=kx+b，则：，解得直线ab解析式为y=2x2点c为直线y=2x2与抛物线y=x22的交点，则点c的横、纵坐标满足：，解得、（舍）点c的坐标为（4，6）（2）直线x=3分别交直线ab和抛物线c1于de两点yd=4，ye=，de=fg=de=4：3，fg=2直线x=a分别交直线ab和抛物线c1于f、g两点yf=2a2，yg=a22fg=|2aa2|=2，解得：a1=2，a2=2+2，a3=22（3）设直线mn交y轴于t，过点n做nhy轴于点h；设点m的坐标为（t，0），抛物线c2的解析式为y=x22m；0=t22m，2m=t2y=x2t2，点p坐标为（0，t2）点n是直线ab与抛物线y=x2t2的交点，则点n的横、纵坐标满足：，解得、（舍）n（2t，22t）nq=22t，mq=22t，mq=nq，mnq=45mot、nht均为等腰直角三角形，mo=ot，ht=hnot=4，nt=，nh=（2t），pt=t+t2pn平分mnq，pt=nt，t+t2=（2t），t1=2，t2=2（舍）2m=t2=（2）2，m=2【50.2012潜江】24如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于a（1，0），b（4，0）两点，交y轴于点c，与过点c且平行于x轴的直线交于另一点d，点p是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点d坐标；（2）点e在x轴上，若以a，e，d，p为顶点的四边形是平行四边形，求此时点p的坐标；（3）过点p作直线cd的垂线，垂足为q，若将cpq沿cp翻折，点