2016届江西省师范大学附属中学，九江第一中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案.doc

2016届江西师大附中、九江一中第一次联考数学（理）试题命题人：刘建华本试卷分为第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第i卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1.设，则 ( )abcd2正项等比数列中，是方程的两根，则的值是a2 b3 c4 d53.函数满足，则的值为（ ）a. b. c. d. 4曲线在点处的切线为若直线与，轴的交点分别为，则（其中为坐标原点）的面积为（ ）a bc2d5设命题甲：关于的不等式有解，命题乙：设函数 在区间上恒为正值，那么甲是乙的（ ）a充分不必要条件b必要不充分条件 c充要条件d既不充分也不必要条件6已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（ ）a重心b垂心c外心d内心7已知函数（）的导函数为，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）abc d8由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为（ ）abcd9已知实数变量满足且目标函数的最大值为8，则实数 的值为( )a.b.c.2d.110.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）abc2d11已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数，它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，则椭圆的离心率为（ ）a.b.c.d.12设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）abcd 第ii卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 14. dabc中，|cosacb=|coscab=，且=0，则ab长为 15. 正实数满足，则的最小值为 16. 四棱锥底面是一个棱长为2的菱形，且dab=60，各侧面和底面所成角均为60，则此棱锥内切球体积为 三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列满足成等差数列,且.（）求数列的通项公式;（）设,求数列的前项和.18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组80，90），第二组,.第六组,得到如右图所示的频率分布直方图.（）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为，求的分布列和期望19.如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：ag平面bde;（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.20.如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为.过点的直线与该椭圆相交于两点（）求椭圆的方程；（）设直线与的斜率分别为.试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21.已知函数(其中,且为常数)（）若对于任意的,都有成立,求的取值范围;（）在（）的条件下,若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.abcdeo请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab； （）求证：acbc2adcd （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足.（）求曲线的普通方程；（）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为,.（）证明：；（）比较与的大小.评分参考1.b 2.a 3.c 4.c 5.b 6.a 7.c 8.b 9.d 10.d 11.a 12.b 13. 14. 15.9 16.解析:11. a 在椭圆中 ，在双曲线中所以，即，则所以，由题知，则椭圆离心率12. b 令，函数为奇函数，时，函数在为减函数，又由题可知，所以函数在上为减函数，所以 则，.即17.已知正项等比数列满足成等差数列,且. （）求数列的通项公式; （）设,求数列的前项和.【解析】（）设正项等比数列的公比为由,因为,所以.又因为成等差数列,所以所以数列的通项公式为.（）(方法一)依题意得,则由-得所以数列的前项和(方法二)因为,所以18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组80，90），第二组,.第六组,得到如右图所示的频率分布直方图.（）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为，求的分布列和期望【解析】（）根据频率分布直方图，得:成绩在120，130）的频率为1（0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810）=10.88=0.12； 2分所以估计该校全体学生的数学平均成绩为850.1+950.24+1050.3+1150.16+1250.12+1350.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107； 4分（）根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.0850=4人，而在的学生共有 5分所以的可能取值为0、1、2、3， 6分所以p（=0）=， p（=1）=， p（=2）=， p（=3）=； 10分所以x的分布列为 数学期望值为=0+1+2+3=1.2 12分19.如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：ag平面bde;（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【解析】由平面，平面, 平面bceg, .2分 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得.3分（）设平面bde的法向量为，则 即 ， ，平面bde的一个法向量为.5分 ， ，ag平面bde. .7分（）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为.8分因为,由得，.10分平面的一个法向量为，.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.12分20. 如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为.过点的直线与该椭圆相交于两点 （）求椭圆的方程； （）设直线与的斜率分别为.试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（）依题意可知. 所以椭圆的方程为: 4分 （）(方法一)设直线的方程为,直线的方程为. 5分联立方程组 7分解得点的坐标为同理,可解得点的坐标为 9分由三点共线,得化简有. 11分已知同号,所以.故存在,使得成立. 12分(方法二)当直线垂直于轴时,点的坐标分别为所以此时直线与的斜率分别为有. 6分由此猜想:存在满足条件.下面证明猜想正确.当直线不垂直于轴时,设直线的方程为,又设.联立方程组 8分 11分由此可得猜想正确.故存在,使得成立. 12分21. 已知函数(其中,且为常数) （）若对于任意的,都有成立,求的取值范围; （）在（）的条件下若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.【解析】（）由知 1分 当时,对于恒成立,在上单调递增 ,此时命题成立; 3分 当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有.这与题设矛盾,不合. 故的取值范围是 5分 （）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的. 当时,因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或; 7分 当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在上有且只有一个零点; 9分 当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点. 11分 综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根. 12分 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑abcdeo（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab； （）求证：acbc2adcd 【证明】： （）连接oe，因为d为的中点，e为bc的中点，所以oed三点共线 2分因为e为bc的中点且o为ac的中点，所以oeab，故deab. 5分（）因为d为的中点，所以baddac，又baddcbdacdcb又因为addc，decedacecd 8分adcdacce 2adcdac2ce 2adcdacbc10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足. （）求曲线的普通方程； （）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与