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数学答案(理工类) 20165一、选择题:(满分40分) 题号12345678答案abbcdad c二、填空题:(满分30分)题号91011121314答案,16,(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答题:(满分80分)15(本小题满分13分)解:() 因为,且 , 所以因为, 由正弦定理,得6分() 由得 由余弦定理,得 解得或(舍负) 所以 13分解: ()由已知可得:上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25, 据此估计此人260个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)中度拥堵的天数为 2600.25=65天. 5分()由题意可知的可能取值为 且; ;所以 13分ecdba图117(本小题满分14分)解:()如图1,在等腰梯形中,由,为中点,所以为等边三角形如图2,cbfoda1e因为为的中点,所以又因为平面平面,且平面平面,所以平面,所以4分()连结,由已知得,又为的中点, 图2 所以a1xzxyzxzzxfobcdep由()知平面,所以,所以两两垂直以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系(如图)因为,易知所以,所以设平面的一个法向量为, 由 得 即 取,得设直线与平面所成角为,则所以直线与平面所成角的正弦值为 9分()假设在侧棱上存在点,使得平面 设,因为,所以易证四边形为菱形,且,又由()可知,所以平面所以为平面的一个法向量由,得所以侧棱上存在点,使得平面,且 14分18(本小题满分13分)解:()当时, , 则,而 所以曲线在点(1,)处的切线方程为,即 4分()依题意当时,曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,等价于当时,恒成立 设,所以(1)当,即时,当时,为单调减函数,所以 依题意应有解得所以(2)若 ,即时,当,为单调增函 数, 当,为单调减函数 由于,所以不合题意 (3)当,即时,注意到,显然不合题意 综上所述, 13分19(本小题满分14分)解:()依题意可知, 所以椭圆离心率为 3分()因为直线与轴,轴分别相交于两点,所以令,由得,则 令,由得,则 所以的面积 因为点在椭圆上,所以 所以即,则 所以 当且仅当,即时,面积的最小值为 9分()当时,当直线时,易得,此时, 因为,所以三点共线 同理,当直线时,三点共线当时,设点,因为点与点关于直线对称, 所以整理得解得 所以点 又因为, 且 所以所以点三点共线 综上所述,点三点共线 14分20(本小题满分13分)证明:()当时,令,,则, 且对,都有,所以具有性质相应的子集为, 3分()若,由已知,又,所以所以 若,可设,,且, 此时 所以,且所以若, ,,则,所以又因为,所以所以所以综上,对于,都有 8分()用数学归纳法证明(1)由()可知当时,命题成立,即集合具有性质(2)假设()时,命题成立即,且,都有那么 当时,记,, 并构造如下个集合:,, 显然又因为,所以 下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素 若两个元素,则,
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