随机事件及其概率(1).ppt

目前，数学在经济、金融、管理科学等领 域的应用越来越广泛，需要应用随机数学对这 些领域中的许多问题及大量数据建模、分析和 进行推断，为此，必须掌握随机数学的基础课 程概率论与数理统计。 应 用 理论基 础 1第一章 随机事件及其概率 概率论是研究随机现象的数量规律的数学 分支，从近代博弈论逐步发展起来；数理统计 以概率论为工具研究统计资料的收集、整理， 并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推 断。 概率论与数理统计以随机现象的统计规律 性为研究对象，其最终目的在于用随机现象 的规律性指导我们的实践。 2第一章 随机事件及其概率 课程大纲 1、随机事件与概率 2、随机变量及分布 3、随机变量的数字特 征 4、正态分布 5、数理统计的基本知 识 6、参数估计 7、假设检验 8、方差分析 9、回归分析 期中考试期末考试 作业、考核方式和成绩评定作业、考核方式和成绩评定: : l 平时：20;期中(闭卷)：40%;期末(闭卷)：40% l 主教材:概率论与数理统计(第2版).王明慈,沈恒范. 3第一章 随机事件及其概率 第一章 随机事件及其概率 1.1样本空间与随机事件 1.2随机事件的频率与概率的定义及性 质 1.4条件概率，概率乘法公式 1.5随机事件和独立性 4第一章 随机事件及其概率 1.1样本空间与随机事件 1.随机试验与随机事件 一类现象：上抛的硬币下落；导线通电发热等。 在一定条件下，必然会出现某种确定的结果的现象称 为确定性现象（或必然现象）。 另一类现象：上抛的硬币下落可能正面超上，也可能反面 朝上；自动机床加工的零件可能是合格品也可能是不合格 品。 在一定条件下，可能会出现各种不同的结果的现象称为随机 现象（或偶然现象）。 多次重复抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的次数几乎相等 ； 在相同条件下，对随机现象进行大量的重复试验（ 观测），其结果总能呈现某种规律性，随机现象的这种 规律性称为统计规律性。 5第一章 随机事件及其概率 随机试验 为了研究随机现象的统计规律性进行的观测称为试 验。如果一个试验满足下列三个特点： 试验可以在相同条件下重复进行； 每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且 不止一个； 每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果， 则称这种试验为随机试验（简称试验）。通常用字 母E，E1，E2表示随机试验。 6第一章 随机事件及其概率 随机试验 例1 试验E1：抛一枚硬币，观测出现的结果， 可能是正面朝上或反面朝上。 例2 试验E2：从一批产品中任意取10个样品， 观测其中的次品数，可能是0，1，210。 例3 试验E3：记录某段时间内电话交换台接到 的呼唤次数，可能是0，1，2。 例4 试验E4：测量某个零件的尺寸与规定尺寸 的偏差x(mm)，所有可能的结果是x在某个区 间（a,b）内，即a0，则称 （1.14 ） 对公式可理解为：在事件B发生的条件下，样本空间不再 是，而是B（即 的子集）；这时事件A发生就是A与 B同时发生（即发生）。 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率。 41第一章 随机事件及其概率 1.条件概率 书P15例 设在个同一型号的元件中有个一等品，从 这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元件，求 在第一次取得一等品的条件下，第二次取得一等品的概 率。 解 设A表示“第i次取得一等品”(i=1,2),则因为第一次 取出个一等品后，剩下的9个元件中还有6个一等品，所以 所求概率为 若按事件发生条件下缩减后的样本空间来计算，则 可以直接得到 42第一章 随机事件及其概率 1.条件概率 例：设一只乌龟能存活60年的概率为0.89，能存活100年的 概率为0.83，若现在这只乌龟已经60岁，则它能再存活 40年的概率是多少？ 解 设A=乌龟活到100岁，B=乌龟活到60岁 因为，AB,所以p(AB)=P(A)=0.83 p已活到60岁的乌龟再存活40年 = 也可理解为100只活到60岁的乌龟中大约有93只能活到100岁 . 43第一章 随机事件及其概率 . 概率乘法公式 定理 设、为两个随机事件，若P(B)0， 则事件与的交的概率 或者，若P(A)0，则 公式(1.15)及公式(1.16)都称为概率乘法公式 推广到多个事件的情形： （1.1 ） （1.1 ） （1.1 ） 44第一章 随机事件及其概率 . 概率乘法公式 书P16例 设在个同一型号的元件中有个一等品 ，从这些元件中不放回地连续取三次，每次取一个元件 ，求 （）三次都取得一等品的概率 （）三次中至少有一次取得一等品的概率 解 设A表示“第次取得一等品” (i=1,2,3),按公式 (1.17)得 45第一章 随机事件及其概率 . 全概率公式与贝叶斯公式 定理 设样本空间为，B1，B， B是 个互不相容事件，且 对于任一随机事件，有 公式(1.18)称为全概率公式 公式(1.19)称为贝叶斯公式 （1.1 ） （1.1 ） 46第一章 随机事件及其概率 书P17例 某厂有三条生产线生产同一种产品，已 知各条生产线的产量分别占该厂总产量的25，35， 40；各条生产线的产品的次品率分别是5，4， ，将该厂所有产品混合投放市场，某消费者购买该厂 的一件产品， （）求这件产品是次品的概率； （）若这件产品确实是次品，问这件产品最可能是哪一条 生产线生产的 47第一章 随机事件及其概率 所以这件产品最可能是第条线生产的。 解 设事件A表示“消费者购的一件次品”， 设事件表示“这件产品是第条生产线生产的产品” (i=1,2,3) 48第一章 随机事件及其概率 例（书p24例4）.玻璃杯整箱出售，每箱12个，假设各箱 中有0,1,2个残次品的概率分别为0.85,0.10,0.05顾客 购买一箱玻璃杯时，售货员任意取一箱，而顾客开箱随 机察看1个，若未发现残次品，则买下该箱玻璃杯；否则 不买求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)顾客买下的一箱玻璃杯中确实没有残次品的概率 49第一章 随机事件及其概率 (1)由题意得 计算条件概率 按全概率公式得所求概率 (2)按贝叶斯公式得所求概率 设事件Bi表示顾客察看的该箱玻璃杯中有i个残次品 事件A表示顾客买下该箱玻璃杯，则 (1)利用全概率公式计算P(A) (2)利用贝叶斯公式可以计算P(B0/A) 50第一章 随机事件及其概率 1.随机事件的独立性 一般来说，条件概率P(A|B)与概率P(A)是不相 等的，但在某些情况下，也可能相等 例如 设在个同一型号的元件中有个一 等品，放回地连续抽取两次，每次抽取一个元件 设Ai表示“第i次取得一等品”， 由此可见，事件A2的条件概率P(A2|A1)等于概率 P(A2),即 说明事件A1的发生不影响事件A2的概率 51第一章 随机事件及其概率 应当指出，对于两个随机事件与，P(A)0, P(B)0，则当等式 （1. ） （1. ） （1. ） 定义 对任意两个事件A与B，若， 则称事件A与B相互独立.（简称为独立的） 则可得到 52第一章 随机事件及其概率 定理 若事件与相互独立，则下列各对事件 也相互独立。 定义 设有个事件 若其中任 意两个事件 则称这个事件是两两独立的。 53第一章 随机事件及其概率 定义 设有个事件 若其中 任意个事件 则称这个事件是相互独立的。 定理 设个事件 相互独立，则有 若n个事件A1,A2,An相互独立，则这n个事件一定两两 独立；反之，则不一定成立。 54第一章 随机事件及其概率 书P19例 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性 ，一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性。设一 个系统由四个元件按图组成，各个元件能否正常工作是相互 独立的，且每个元件的可靠性都等于p(0p1)，求这个系统 的可靠性。 55第一章 随机事件及其概率 解 设事件Ai表示“第i个元件能正常工作”(i=1,2,3,4) ， 事件A表示“系统L-R能正常工作”，则有 56第一章 随机事件及其概率 例(书P24例5). 设三事件A、B、C两两独立，但不是相互 独立，且ABC=，已知 57第一章 随机事件及其概率 例 （可靠性问题）设有6个元件，每个元件的可靠度均 为0.9，且各元件能否正常工作是相互独立的。若按下列 方式装配成附加通路系统I和附加元件系统II试问哪个系 统可靠度大？ 系统 系统II 58第一章