周期信号的傅里叶级数.ppt

信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 引言 时域分析中,以冲激信号(t)为基本信号，任意 输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和； 而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号， 任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信 号或虚指数信号之和。 第三章 傅立叶变换 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论 傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数 展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为 傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解， 即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了 信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特 性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽 以及滤波、调制等重要概念。 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 本章主要内容 周期信号的傅立叶级数 非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的基本性质 周期信号和抽样信号的傅立叶变换 一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 预备知识:完备的正交函数集 信号分解： 常用完备备正交函数集： i)三角函数集： ii)复指数函数集： 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 3.1周期信号的傅立叶级数 一、三角形式的傅立叶级级数 是区间间 上的一个完备备正交函数集，周期 满满足一定条件的任一函数在区间间 都可描述为为 ： f(t) 1任意信号的三角形式傅立叶级数展开 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 3.1周期信号的傅立叶级数 ii) iii) i) 为 的偶函数 为 的奇函数 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2对对于周期函数 ，由于 积积分值值与积积 分区间间起始点无关(只要积积分区间间大小为为T1)，故在 均可以展成傅立叶级级数 3存在的充分非必要条件：狄利克雷条件 一周期内 一周期内 绝对绝对 可积积，即 一周期内间间断点有限个； 极值值有限个； 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 4其它三角形式 ii) iii) iv) i) 为 的偶函数 为 的奇函数 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 v)基波分量：对应对应 的 vi)奇次谐谐波分量：对应对应 的 vii)偶次谐谐波分量： 对应对应 的 viii)直流分量：c0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 5周期信号的离散谱谱 ii)相位(频频)谱谱:i)幅度(频频)谱谱: 谱线，包络线 特点：频谱频谱 只出现现在某些离散频频率点上，离散(频频)谱谱 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 二、指数形式的傅立叶级级数 上的完备备正交函数集，周期 1任意信号的指数傅立叶级数展开 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2周期函数 积积分值值与 无关(只要积积分区间间 大小为为T1)，故在 有 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 3 与的关系 i) ii) iii) 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 4幅度谱谱：，相位谱谱： 实 傅立叶级级数的特点： ii) 为为奇函数为为偶函数i) 为实数时， 的正负表示 的0和，幅 度谱和相位谱 画到一张图上 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 5负频负频 率出现现无物理意义义，只是数学运算结结果。 每个分量的幅度一分为为二，在正负频负频 率相对应对应 的 位置上各一半； 只有把正负频负频 率上对应对应 的两条谱线谱线 矢量相加起来 才代表一个分量的幅度。 理解： 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 三、函数对对称性与傅立叶系数关系 1偶函数 E f(t) t 偶函数只含直流项项和余弦项项 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 E 例1：周期矩形脉冲：只含直流项与余弦项 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 谱线间隔 零值点频率 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 指数形式： 频带宽频带宽 度概念：周期脉冲信号包含无穷穷多条谱线谱线 ，即可分解 为为无穷穷多个频频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内 ，常把 这这段频频率范围围称为为矩形脉冲信号的频频 带宽带宽 度 Bf与成反比关系 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 若T1不变，减小一半 谱线间隔 只与周期T1有关，且与T1成反比；零值点 频率 只与有关，且与成反比；而谱线幅度与T1和都有关 系，且与T1成反比与 成正比。 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 若不变，T1扩大一倍 周期T1越大，谱线间隔越小（密集） 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2奇函数 f(t) t0 奇函数只含正弦项项 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 例2：周期锯齿锯齿 波只含正弦项项 f(t) E/2 -E/2 t 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 3奇谐谐函数： 半周期对对称 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 i)当时时， ii)当时时， 同理 ii)当时时， 时时，i)当 奇谐函数只含基波和奇次谐谐波的正弦和余弦项项 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 例3：含直流的周期锯齿锯齿 波： 4去直流后为为奇函数 为为奇函数： 只含正弦项项，则则只含直流和正弦项项 t0 t0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 5去直流后为为奇谐谐函数 为为奇谐谐函数：含直流、基波和奇次谐谐波 A 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 例4：周期三角波含直流、基波和奇次谐谐波 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 f(t) 6偶函数&奇谐谐函数：只含基波和奇次谐谐波的余弦分量 t 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 0 例5：对对称方波只含基波和奇次谐谐波的余弦分量。 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 7奇函数&奇谐谐函数：只含基波、奇次谐谐波的正弦分量 -1 1 t f(t) 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 8偶谐谐函数： 不一定为0 f(t) t 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 i)当时时, ii)当时时, ii)当时时, 时时,i)当 同理 偶谐函数只含直流和偶次谐谐波的正弦和余弦项项 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 9偶函数&偶谐谐函数：只含直流和偶次谐谐波的余弦分量 f(t) t 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 10奇函数&偶谐谐函数：只含偶次谐谐波的正弦项项 0 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 11半波余弦、半波正弦类类 例6：全波整流：只含直流、余弦分量 0 E 规规律收敛敛 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 半波整流：只含直流、基波和偶次谐谐波余弦分量 0 E 规规律收敛敛 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 四、功率特性，有限级级数，最小方均误误差 1.功率特性 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ：直流功率 称之为为帕塞瓦尔方程 ：交流功率 时时域和频频域的能量守恒：周期信号的平均功率 等于傅立叶级级数展开各谐谐波分量有效值值平方和 其中 的交流功率为 , 有效值为 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2.有限级级数及最小方均误误差 最小方均误误差 有限级级数的由来： 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 例7：对对称方波 ii) 变变化越剧剧烈，高频频分量越多：高频频分量主 要影响脉冲跳变变沿，低频频分量主要影响脉冲顶顶 部 解： i) 项项数越多，误误差越小， P99 信号与系统信号与系统signals and systemssignals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系