MATLAB课程PPT第五章.ppt

第五章 数据分析 5.1 线性方程组 5.1.1 线性方程求解 在矩阵的表示方法中，线性方程的求解可以表述为：给定两个 矩阵A和B，求 X 的唯一解使得： AX=B 或 XA=B X=AB: 表示求矩阵方程AX=B的解 X=B/A: 表示求矩阵方程XA=B的解 (B/A)=(AB) 矩阵A并不要求是方阵，若A是m*n的矩阵，则存在以 下三种情况： 1)m=n:适定方程组，寻求精确解； 2)mn:超定方程组，寻求最小二乘解; 3)mn:不定方程组，寻求基本解. 对于不同的情况，左除算子采用不同的算法求解。 5.1.1 线性方程求解 5.1.1 线性方程求解 1、适定方程组： 一般形式的线性方程组为： Ax=b 或 AX=B 求解命令是： x=Ab X=AB 2、超定方程组： 对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令寻求它的最小二乘解 ，其调用格式是： x=Ab A*x并不是精确的等于b，但它们的差值小于原始数据的测量误差 。 3、不定方程组： 解不唯一，MATLAB 将寻求一个基本解，其中至多只有m个非零元 素。 5.1.2 矩阵分解 MATLAB中几种常用的矩阵分解方法，相关的函数见下表： 命 令功 能 说说 明 cholcholesky分解对对称正定矩阵阵的分解，用于求解方程组组 lu矩阵阵LU分解将矩阵阵采用LU分解，直接求解线线性方程 组组 qr正交三角分 解 将矩阵阵分解为为正交矩阵阵或酉矩阵阵和上三 角矩阵阵 5.1.2 矩阵分解 Cholesky 分解的函数 chol 的调用格式为： R=chol(X): X是对称正定矩阵，R是上三角阵(对角线为正)，使得 R *R=X，若X是非正定的，将给出错误信息。 R,p=chol(X):不会给出错误信息，若X是正定的，p等于0，R同上 ；若X不是正定的，则p为正整数，R是上三角矩阵，它的阶数为q=p -1， Cholesky 分解允许对线性方程组 A*x=b 进行如下替换： R*R*x=b 由于左除算子可以处理三角矩阵，因此可以得出： x=R(Rb) 一、Cholesky分解 5.1.2 矩阵分解 二、 LU分解 函数lu 的调用格式： L,U=lu(A): U是上三角矩阵，L是“心理上”的下三角阵，实际 上， 它是下三角阵和置换矩阵的乘积，结果使得：A=L*U L,U,P=lu(A):L是下三角矩阵，上三角矩阵U 和置换矩阵P，使 得： P*A=L*U LU 分解允许对线性方程 A*x=b 进行如下计算： x=U(Lb) LU分解或 Gaussian 消去法，可以将任何方阵表示为 一个下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积,即：A=LU 5.1.2 矩阵分解 三、正交分解 正交分解或QR分解，将方阵或矩形矩阵A分解为一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵R 的乘积，即： A=QR 或 AP=QR 函数qr的用法如下： Q,R=qr(X):上三角矩阵R和正交矩阵Q，使得：X=Q*R (R与X同维 ) Q,R,E=qr(X):置换矩阵E，使得： X*E=Q*R Q,R=qr(X,0)和Q,R,E=qr(X,0)：其中，E是一个置换向量， 使得： Q*R=X(:,E)。 5.2 非线性数值计算 5.2.1 非线性函数最小值点 1、求单变量函数最小值点 求单变量函数最小值点的函数是:fminbnd，其调用格式是： x,fval,exitflag,output= fminbnd(fun,x1,x2,options,p1,p2,) fun 是被计算最小值点的单变量函数（目标函数）名称字符串 ；x1、x2是目标函数自变量的取值范围；p1、p2,是向目标函数 传递的附加参数；options是一个结构类型的变量，用于指定算法 的优化参数。该结构的内容用函数 optimset 进行定义，若没有优 化参数要设置，可以在options的位置用“ ”作为占位符。 5.2.1 非线性函数最小值点 1、求单变量函数最小值点 Display: 显示的层次，off 不显示输出内容，iter 显示每次 迭代的输出，final只显示最后一次的输出； MaxFunEvals: 所允许的函数的最大求值次数； MaxIter: 所允许的最大迭代数； TolX: 终止迭代的容差值 函数fminbnd使用了结构 options 的四个域，它们的含 义如下： x,fval,exitflag,output= fminbnd(fun,x1,x2,options,p1,p2, ) 输出参数：x是 fun 的最小值点;fval是目标函数在 x 处 的值; exitflag描述函数fminbnd退出的情况，大于0表示函数 收敛到了解x，等于0表示达到了所允许的函数最大求值次数。 output是一个结构变量，包含了计算的信息，它共有三个 域： 5.2.1 非线性函数最小值点 output.algorithm: 使用的算法； output.funcCount: 函数求值次数； output.iterations: 迭代次数。 x,fval,exitflag,output= fminbnd(fun,x1,x2,options,p1,p2, ) 例：求内联函数 f(x,a)=x4+2x2+2ax+5 的最小值。 5.2.1 非线性函数最小值点 函数fminsearch用于求多变量函数的最小值点，其调用格式是 ： x,fval,exitflag,output= fminsearch(fun,x0,options,p1,p2,) 其中，x0 是最小值点的初始值，一般是猜测的；结构options 的域比函数 fminbnd 中增加一个 - TolFun,指终止计算的目标 函数容差值; 退出标志 exitflag 也比函数 fminbnd 中增加一种情况：小于 0，表示目标函数不收敛。 2、求多变量函数最小值点 例：求函数 f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2 的最小值。 5.2.2 单变量函数零点 求单变量函数零点的函数是fzero，其调用格式是： x,fval,exitflag,output= fzero(fun,x0,options,p1,p2,) 其中，参数 x0 指定搜索的起始点，同时也预定搜索零点的大 致位置； 结构options中只有两个域：Display 和 TolX 输出参数 exitflag 大于0表示找到了函数的零点，小于0表示 没有找到零点或在搜索过程中遇到了无穷大的函数值。 例：求函数 f(x)=x4-ax-5a+7 的零点 5.2.3 常微分方程（组）数值解 刚性问题，对于一个常微分方程组，如果其 Jacobian 矩阵的 特征值相差十分悬殊，那么这个方程组就称为刚性方程组。 七种函数对应解法的特点： 1)ode45:四阶/五阶龙格库塔法，单步解法，对很多问题都是 首先试用的最好方法，但不能解决刚性问题； 2)ode23:二阶/三阶龙格库塔法，单步解法，在误差容许范围 较宽且存在轻微刚性时比ode45效果好； 3)ode113:可变阶次Adams-Bashforth-Moulton PECE算法，多步 解法，比ode45更适合于误差容许范围要求较严格的情况，不能解 决刚性问题. MATLAB提供了七种解法，分别由七个不同的函数来完成， 它们是： ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 5.2.3 常微分方程（组）数值解 4)ode15s:可变阶次的数值微分公式算法，多步解法，若用 ode45效果很差或者失败，可以考虑试用ode15s，且可解决刚 性问题； 5)ode23s:基于修正的 Rosenbrock 公式，单步解法，比 ode15s更适用于误差容许范围较宽的情况，可以解决一些采用 ode15s效果不好的刚性问题； 6)ode23t:采用自由内插法实现的梯形规则，适用于系统存在 适度刚性并要求无数值衰减的情况； 7)ode23tb:龙格库塔公式的第一级采用梯形规则、第二级采 用Gear法。对于误差容限较宽的情况，比ode15s效果更好，可 解决刚性问题。 5.2.3 常微分方程（组）数值解 函数ode45的调用格式为： T,Y=ode45(F,tspan,y0,options,p1,p2,) 输入参数：F 是常微分方程组的文件名字符串;tspan是向 量，一般形如：t0 tfinal,指定求解的起始值和终止值，若需要 得到指定时刻的结果，也可以采用:t0,t1,tfinal;y0是初始 状态向量；options是一些可选的综合参数，由函数odeset进行设 置。 输出参数：T为时间列向量，Y是数值解矩阵，它的每一行对应 着列向量T中的一个时间值。 例1：解常微分方程组，已知常微分方程组及初始条件如下： y1=y2y3 y1(0)=0 y2=-y1y3 y2(0)=1 y3=-2y1y2 y3(0)=-1 5.2.3 常微分方程(组)数值解 例2：解常微分方程组，已知二阶微分方程及初始条件 ： y=1000(1-y2)y-y y(0)=0,y(0)=1 解：令 y1=y,y2=y1,则该方程化为如下的一阶常微分方程 组： y1=y2 y2=1000(1-y12)y2-y1 5.2.4 函数的数值积分 求解函数的数值积分的函数为 quadl 和 quad ，其调用 格式为： quadl(fun,a,b,Tol,p1,p2,) 例1：在区间 0.01,1 上求 的数值积分，设置绝对 误差容限为 1e-8。 例2：在区间上求 的数值积分。 5.3 多项式 5.3.1 多项式表示法 MATLAB采用行向量表示多项式，将多项式的系数按降幂次序存 放在行向量中，多项式：p(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an的系数行向量 为：p=a0 a1 an,注意顺序必须是从高次幂向低次幂。 为了将整个多项式输入MATLAB，可以采用类似于向量创建的方 法，直接输入多项式的系数行向量。 例如：多项式 x4+3x2-5x+1 可以采用系数向量1 0 3 5 1表示，注意多项式中缺少的幂次要用“0”补齐。 5.3.2 求多项式的根，由根创建多项式 函数roots用于求多项式的根，其调用形式为： R=roots(C) 函数poly由给定的根创建多项式，其调用格式为： C=poly(R) 按照输入参数R的不同形式，该函数的输出参数C有以下两 种情况： 1)R是向量，那么C将是多项式系数行向量，且根向量为R的 ； 2)R为N*N矩阵，那么返回值C将是矩阵R特征多项式的系数行 向量，它由N+1个元素组成。 例：求多项式 x4-x3+9x-2 的根 5.3.3 多项式乘和除 函数conv用于实现向量的卷积运算，函数deconv用于实现向 量的解卷运算。 函数conv的调用格式是： C=conv(a,b) 函数deconv的调用格式如下： q,r=deconv(c,a) 例：多项式乘除运算： 以多项式 a(x)=x3-2x2+1 和 b(x)=3x2-4x+5为例 5.3.4 多项式导数 函数 polyder 可计算多项式的导数,它即可以计算单个多 项式的导数，又可以计算两个多项式积和商的导数。 函数 polyder 的调用格式为： polyder(p): 计算系数向量为p的多项式的导数； polyder(a,b) 或 c=polyder(a,b):计算多项式a*b的导数； q,d=polyder(a,b):计算多项式的商a/b的导数，用q/d表示 。 例：多项式 a(x)=3x2+2x-7 和 b(x)=4x3-3x2+x-1 的导数 5.3.5 多项式的值 函数 polyval 用于计算给定的自变量值时，多项式的值 函数 polyval 的调用格式： y=polyval(p,x) 其中，p为多项式的系数向量，x是指定的自变量的值。 函数 polyvalm 计算矩阵多项式的值，即以矩阵整体作为多 项式的自变量进行计算。该函数用法为： y=polyvalm(p,x) 例：求多项式的值，p(x)=5x2+4x+3 5.3.6 多项式曲线拟合 函数 polyfit 用于对给定的数据进行多项式曲线拟 合，最后给出拟合多项式系数，此函数的调用格式为： p=polyfit(x,y,n) 其中，x和y是数据的横纵坐标向量，n是规定的拟 合多项式的阶数，p是返回多项式的系数向量。 5.3.7 部分分式展开 函数 residue 用于将两个多项式之比用部分分式展开，该函 数的调用格式是： r,p,k=residue(a,b):求多项式之比a/b的部分分式展开， r是留数、p是极点、k是直接项; 当没有重根时，存在： 当存在重根时，有： a,b=residue(r,p,k):从部分分式得出多项式系数向量。 5.3.7 部分分式展开 例：把 用部分分式展开 5.4 数据插值 5.4.1 一维插值 命令 interp1 可以进行一维插值，此命令的调用格式： yi=interp1(x,y,xi) yi=interp1(x,y,xi,method) 其中，x,y为原始的已知数据，x是横坐标向量，必须是单调的 ；y是纵坐标向量或矩阵；xi是指定插值点的横坐标，yi是在指定 的位置计算出的插值结果。参数 method 用来指定插值方法，具体 插值方法如下： nearest:最近邻域插值 linear:线性插值 spline:三次（立方）样条插值 cubic:三次内插（立方插值） 5.4.2 二维插值 命令 interp2 可以进行二维插值,其调用格式： zi=interp2(x,y,z,xi,yi) zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) 其中，x、y和z是原始已知数据，x和y是两个独立向量，且 必须都是单调的，z是矩阵，是由x和y确定的点上的值，z和x、 y之间的关系是： z(i,:)=f(x,y(i) 和 z(:,j)=f(x(j),y) 若省略x和y，相当于x=1:n,y=1:m (m、n分别是矩阵z的行 数和列数),xi和yi是要进行插值的点，zi是与插值点对应的插 值结果；method 指定插值方法： linear:双线性插值 nearest:最近邻域插值 spline:三次（立方）样条插值 cubic:双三次插值 5.4.3 样条插值 进行三次样条插值的指令是 spline，此函数的调用格式有 如下两种： yi=spline(x,y,xi) pp=spline(x,y) 函数 spline 获取原始数据点x和y以及要进行插值的点xi的 横坐标 ，寻找拟合x和y的三次样条内插多项式，然后计算这些多 项式，对每个xi值，寻找相应的yi; 第二种调用方式中，spline 返回一个称为三次样条的pp形式 或分段多项式形式的数组。这个数组包含了对于任意一组所期望 的内插值和计算三次样条所必须的全部信息。 得到pp形式后，可以用函数 ppval 计算该三次样条 ，函数的用法为： yi=ppval(pp,xi) 函数unmkpp可把pp形式分解成它的各个部分,此函数 的调用格式是： breaks,coefs,pieces,order,dim=unmkpp(pp) 已知pp形式的各个部分，可用函数mkpp重构完整的pp 形式: pp=mkpp(breaks,coefs,pieces,order,dim) 5.4.3 样条插值 5.5 基础运算 基础运算函数及其功能表 函 数功 能函 数功 能 max求最大元素min求最小元素 median找出中位元素mean求平均值值 std求标标准差sort把数组组的列元素 按递递增顺顺序排 列 sum求和 prod求积积 5.5 基础运算 基础运算函数及其功能表（续 ） 函 数功 能函 数功 能 cumsum计计算累加和cumprod计计算累积积积积 perms把向量按所有可能变换变换 组组合成矩阵阵 primes求出小于或等于 某值值的所有素数 sortrows 把数组组的元素以某列为为 基准，按递递增顺顺序排列 factor计计算素数因子 var求方差 5.5 基础运算 (1) max：最大值指令 ，调用格式： y=max(x): x是向量或矩阵； y,i=max(x):返回最大值和