空间中直线与直线之间的位置关系.ppt

2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系 立交桥 AB C D 六角螺母 两条直线 既不平行 也不相交 1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点） 2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点） 3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点） mm m 图1图2 l l m 一、空间两直线的位置关系 从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行 、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线. l P l 的两条直线叫做异 面直线.（既不相交也不平行的两条直线） 我们把不同在任何一个平面内 1.异面直线 注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 “不可能找到一个平面同时经过这两条直线” 注意: 分别在某两个平 面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能相 交,也可能平行. 判断： 直线m和l是异面直线吗? l m m l (1) (2) ,则 a与b是异面直线. (3)a,b不同在平面内,则a与b是异面直线. 不是 是 错 错 巩固练习 摩托车驾照考试 /mtc/ 2016年摩托车科目一考试 科目四考试 教练员从业资格考试 /jly/ 教练员从业资格证理论考试 客运从业资格证考试 /keyun/ 道路旅客运输从业资格证考试 货运从业资格证考试 /huoyun/ 道路货物运输从业资格证 出租汽车从业资格证考试 /czc/ 出租车驾驶员理论考试 最新试题 异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任 何一个平面内的特点 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正 方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线 是异面直线的有几对？ H G F E D C B A 解：三对 AB与CD AB与GH EF与GH 巩固练习 从有无公共点的角度 有且仅有一个公共点相交直线 在同一平面内 相交直线 从是否共面的角度 没有公共点 平行直线 异面直线 不同在任何一个平面内异面直线 平行直线 空间两条直线的位置关系 平行 异面 相交 异面 巩固练习 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？ 如图图,长长方体ABCD-ABCD中, BBAA, DDAA,那么BB与DD平行吗吗? 问题探究 BB与DD平行 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这 个性质都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据. ab cb ac 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若 2. 空间两平行直线 空间四边形： 如图，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所组成 的四边形叫做空间四边形ABCD. A B C D 相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线 . 例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. A B D E F G H C 证明：连接BD. 因为 EH是ABD的中位线， 所以EHBD,且EH= BD. 同理，FGBD，且FG= BD. 因为EHFG，且EH =FG， 所以四边形EFGH是平行四边形. 应用举例 拓展1 若E，F，G,H分别是四面体ABCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且ACBD，则四边形EFGH为 . 拓展2 若E，F，G,H分别是四面体ABCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且ACBD，则四边形EFGH为 . 拓展3 若E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且ACBD，ACBD，则四边形EFGH 为 . (以上三个问题你会证明吗？不妨一试) 菱形 矩形 正方形 解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 解立体几何时最主要、最常用的一种方法. 【提升总结】 在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和 另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互 补”.在空间中,结论是否仍然成立呢? 观察思考：如图,ADC与ADC，ABC与 ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小 关系如何？ 问题探究 ADC与ADC相等， ABC与ABC相等. 3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补. 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线 分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 . 三、两条异面直线所成的角 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a和 b， 则这两 条线所成的锐角（或直角），称为异面直线a，b所 成的角. a b P a b O ？ Oa 平 移 若两条异面直线所成的角为90，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作ab. 异面直线所成的角的取值范围： 例2 如图，已知正方体ABCDABCD. （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA和CC的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？ 解:（1）由异面直线的定义可知， 与直线BA成异面直线的有直线 BC， AD,CC,DD,DC,DC. 应用举例 （2）由 可知， 为异面直线 与 的夹角, =45 所以，直线 与 的夹角为45 . (3)直线 与直线 垂直. 分别 (1)求两异面直线线所成的角的一般步骤骤： 作：根据所成角的定义义，用平移法作出异面直线线 所成的角； 证证：证证明作出的角就是要求的角； 计计算：求角的值值，常利用解三角形 可用“一作二证证三计计算”来概括 (2)平移直线线得出的角有可能是两条异面直线线所成角 的补补角，要注意识别这识别这 种情况 【提升总结】 1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线 平行. （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行， 那么这两个角相等.（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ） 2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 、 、 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 直线，也有 可能是 直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条 的位置关系是 . (4)过已知直线上一点可以作 条直线与已 知直线垂直. 平行 相交异面 平行 异面 无数 相交、异面 , E F A B G F H E D C 2 5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= ,AD= , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度? (2)因为BFAE， 所以FBG（或其补角）为所求. 在RtBFG中，求得FBG = 60， 所以AE与BG所成的角为60. A B G F H E D C 2 解答： (1