椭圆、双曲线、抛物线.ppt

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆椭圆 双曲线线 抛物线线 定义义 |PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|) |PF|= 点F 不在直线线l上， PMl于M 标标准 方程 （ab0)(a0,b0) y2=2px(p0 ) 图图象 几 何 性 质质 范围围 顶顶点 (0,0) 对对称性 关于x轴轴，y轴轴和原点 对对称 关于x轴轴 对对称 焦点 （ c,0 ） 轴轴 长轴长长轴长 2a, 短轴长轴长 2b 实轴长实轴长 2a， 虚轴长轴长 2b 离心率 准线线 通径 渐渐近线线 2.椭圆中的最值 F1，F2为椭圆 =1(ab0)的左、右焦点，P为 椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点 ，则有 （1）|OP|b,a. (2)|PF1|a-c,a+c. （3）|PF1| |PF2|b2,a2.(4)F1PF2F1BF2. （5） =b2tan ( =F1PF2). （6）焦点弦以通径为最短. 3.双曲线中的最值 F1，F2为双曲线 (a0,b0)的左、 右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点， 则有 （1）|OP|a.（2）|PF1|c-a. （2） ( =F1PF2). 4.抛物线中的最值 点P为抛物线y2=2px(p0)上的任一点，F为焦点， 则有:（1）|PF| . （2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|2p. （3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值. 5.双曲线的渐近线 （1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解 因式可得. （2）用法： 可得 或 的值. 利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 6.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）相离；（2）相切；（3）相交. 特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，直 线与双曲线相交且只有一个公共点. 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线 与抛物线相交且只有一个公共点. 一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程 例1 如图所示，椭圆 上的点M与椭 圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂 直，且OM（O是坐标原点）与椭 圆长轴和短轴端点的连线AB平行. （1）求椭圆的离心率； （2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明： F1CF2 ； （3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、 Q，若PF2Q的面积是 ，求此时椭圆的方程. 思维启迪（1）从OMAB入手，寻找a，b，c的关 系式，进而求出离心率. （2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出 cos F1CF2,再结合基本不等式. （3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则 用设而不求的思路求解. （1）解 设椭圆方程为 (ab0)，则 ， （2）证明 由椭圆定义得：|F1C|+|F2C|=2a， cosF1CF2= = = . |F1C|F2C| =a2， cosF1CF2 ， F1CF2 . （3）解 设直线PQ的方程为y=- (x-c),即y=- (x- c). 代入椭圆方程消去x得： , 整理得：5y2- -2c2=0, y1+y2= ,y1y2= . （y1-y2）2= . 因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为 . 探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式； （2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是椭 圆短轴的一个端点时，F1CF2取得最大值. 变式训练1 （2009四川理，20）已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率 , 右准线方程为x=2. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且 ,求直线l的方程. 解 （1）由条件有 解得a= ,c=1. b= =1. 所求椭圆的方程为 (2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）. 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1, 将x=-1代入椭圆方程得y= . 不妨设 与题设矛盾. 直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1). 设M（x1,y1）、N（x2,y2）,联立 消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 由根与系数的关系知x1+x2= 从而y1+y2=k(x1+x2+2)= 化简得40k4-23k2-17=0, 解得k2=1或k2=- (舍). k=1. 所求直线l的方程为y=x +1或y= -x -1. 二、圆锥曲线中的定值与最值 例2 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4 上，对角线BD所在直线的斜率为1. （1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程； （2）当ABC=60时,求菱形ABCD面积的最大值. 思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解. （2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不 等式知识求解. 解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1. 因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n. x2+3y2=4, 由 得4x2-6nx+3n2-4=0 y=-x+n,. 因为A、C在椭圆上 所以=-12n2+640，解得 . 设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)， 则x1+x2= ,x1x2= , y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2= . 所以AC的中点坐标为 . 由四边形ABCD为菱形可知， 点 在直线y=x+1上， 所以 ,解得 n=-2 . 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. （2）因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60, 所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形ABCD的面积S = |AC|2. 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 所以 . 所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值 . 探究提高 解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解 法灵活多样，但最常用的方法有以下几种： 利用函数，尤其是二次函数求最值； 利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值； 利用不等式，尤其是均值不等式求最值； 利用判别式求最值； 利用数形结合，尤其是切线的性质求最值. 变式训练2（2009银川模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点 B（0，b），且与直线l： 相切. （1）求椭圆的方程； （2）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于M、N两点，该椭圆 的左、右顶点分别为A1、A2，求证：直线MA1与直线NA2的斜 率平方的比值为定值. （1）解 设点F（c,0），其中 .以右 焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点B（0，b），圆的半径为 r= .由圆与直线l：x+ +3=0 相切，得 =a，又a=2c，c=1，a=2，b= . 椭圆方程为 . （2）证明设M（x1,y1）,N(x2,y2)，当直线MN的斜率不存在时 ，直线MN的方程为x=1, 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)，将其代 入 ，得(3+4k2)x2-8k2x+4k212=0, x1+x2= , . 而 , 将其代入上式，得 综上，知直线MA1与直线NA2的斜率平方的比值为 定值. 三、圆锥曲线中的参数范围问题 例3 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0， ） 且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同 的交点P和Q. （1）求k的取值范围； （2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、 B，是否存在常数k，使得向量 共线？ 如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由. 思维启迪（1）将直线l的方程与椭圆方程联立转化为 关于x的一元二次方程，利用0求k的范围；（2）利 用共线的条件建立等式求出k值进行判断. 解（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+ , 代入椭圆方程得 . 整理得 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 = 解得 . 即k的取值范围为 . （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则 =（x1+x2，y1+y2）， 由方程得x1+x2= 又y1+y2=k(x1+x2)+ 而A（ ，0），B（0，1）， =（ ，1）. 所以 共线等价于x1+x2= (y1+y2)， 将代入上式，解得 k= . 由（1）知 k , 故没有符合题意的常数k. 探究提高 直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆 锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数 形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问 题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧 和方法. 变式训练3 如图，已知 直线l与抛物线x2=4y 相切于点P（2，1）， 且与x轴交于点A，O为 坐标原点，定点B的坐标为（2，0）. （1）若动点M满足 ，求点M的轨迹C； （2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（1）中的轨迹 C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与 OBF面积之比的取值范围. 解（1）由x2=4y得y= x2,y= x. 直线l的斜率为y|x=2=1. 故l的方程为y=x-1，点A坐标为（1，0）. 设M（x,y），则 =（1，0）， =（x-2,y）, =(x- 1,y),由 =0得 （x-2）+y0+ =0, 整理，得 +y2=1. 动点M的轨迹C为以原点是中心，焦点在x轴上，长轴 长为 ，短轴长为2的椭圆. （2）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零， 设l方程为y=k(x-2)(k0), 将代入 +y2=1，整 理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2 -2=0x1+x2= , x1x2= 由此可 得 = ， = , 且00)相交于A、B、C、D四个点 .(1)求r的取值范围； （2）当四边形ABCD的面积最 大时，求对角线AC、BD的交 点P的坐标. 解（1）将y2=x代入 （x-4）2+y2=r2,并化简得x2-7x+16-r2=0. E与M有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根x1 、x2, =(-7)2-4(16-r2)0, 由此得 x1+x2=70, x1x2=16-r20. 解得 0, 所以r的取值范围是 . （2）不妨设E与M的四个交点的坐标为 A（x1, ）、B（x1, ）、C（x2， ）、D（x2, ） . 则直线AC、BD的方程分别为y- = (x-x1),y+ = , 解得点P的坐标为（ ,0）, 设t= ,由t= 及（1）知00,当t= 时.f(t)=0; 当 0)的焦点F,交抛物线于A、 B两点，则有：（1）通径的长为2p. (2)焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p. (3)x1x2= ,y1y2=-p2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 2.求轨迹方程的常用方法 （1）轨迹法：建系设动点.列几何等式.坐标 代入得方程.化简方程.除去不合题意的点作答 . （2）待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求 参数. （3）代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而 动时用此法.代入法的步骤： 设出两动点坐标（x,y）,(x0,y0). 结合已知找出x,y与x0,y0的关系，并用x,y表示 x0,y0. 将x0,y0代入它满足的曲线方程，得到x,y的关系 式即为所求. （4）定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线 的类型，进而求得曲线的方程. 3.有关弦的中点问题 （1）通法 （2）点差法 点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的 斜率.点差法的步骤： 将两交点A（x1,y1）,B(x2,y2)的坐标代入曲线的方 程. 作差消去常数项得到关于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的 关系式. 应用斜率公式及中点坐标公式求解. 4.解决直线与圆锥曲线问题的通法 （1）设方程及点的坐标. （2）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程 . （3）应用韦达定理及判别式. （4）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式 求解. 弦长公式：|AB|= . 一、选择题 1.（2009菏泽模拟）已知双曲线 (a )的 两条渐近线的夹角（两条相交直线所成的锐角或直 角为 ，则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B. C. D. 解析 双曲线的渐近线方程为y= . 若 =tan = , 则 a= c= ,e= . 若 ,则 a= ，不符合要求.故选 D. D 2.(2009浙江文，6)已知椭圆 (ab0)的左焦点为F，右顶点为A,点B在椭 圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若 ，则椭圆的离心率是 （ ） A. B. C. D. 解析 如图，由于BFx轴， 故xB=-c,yB= , 设P（0,t）, ， （-a,t）=2（-c, -t）,a=2c. . D 3.（2009山东文，10）设斜率为2的直线l过抛物线 y2=ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为 坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A.y2=4x B.y2=8x C.y2=4x D.y2=8x 解析 y2=ax的焦点坐标为 ,过焦点且斜率为2的直 线方程为y=2 ，令x=0得： y= . =4， a2=64, a=8. B 4.椭圆M： (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2 ，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值 范围是c2,3c2，其中c= ,则椭圆M的离 心率e的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 由 所以 的最大值为 =（a+c）（a-c），结合题意分析知c2a2_c23c2 ，求得离心率的取值范围是 ，故选B B 5.P是双曲线 (a0,b0)右支上的一点, F1、F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,PF1F2的 内切圆的圆心的横坐标是 （ ） A.a B.b C.c D.a+b+c 解析 设圆切PF1、PF2、F1F2分别于M、N、R， 则由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a， 即（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=2a， 又|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2|=2a， 而|MF1|=|RF1|，|NF2|=|RF2|， 因此|F1R|-|F2R|=2a， 设R（0，t），则t+c-（c-t）=2a，t=a. A 二、填空题 6.（2009湖南理，12）已知以双曲线C的两个焦点 及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内 角为60，则双曲线C的离心率为 . 解析 双曲线中焦距比虚轴长，焦点处内角 为60,又由双曲线性质得四边形为菱形. =tan 30= , c= b,a2=c2-b2=2b2, a= b. e= . 7.（2009聊城模拟）设双曲线 (ba0)的 半焦距为c，直线l过（a,0）、(0,b)两点.已知原点到 直线l的距离为 ，则双曲线的离心率为 . 解析 直线l的方程为 ，即bx+ay-ab=0. 于是有 ,即ab = . 两边平方得16a2b2=3c4,16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a2c2+16a4=0,3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2= , ba0, 1, e2= =1+ 2,故e2=4,e=2. 8.（2009南通模拟）已知抛物线y2=-2px(p0)的焦点F恰 好是椭圆 (ab0)的左焦点，且两曲线的 公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为 . 解析 由题意F（ ，0），设椭圆的右焦点为M，椭圆 与抛物线的一个交点为A，则|AF|=p，|FM|=p， |AM|= p， 椭圆长半轴长a = , 椭圆的半焦距c= , 椭圆的离心率e= . 三、解答题 9.（2009潍坊模拟）已知椭圆的两个焦点分别为 F1（0， ），F2（0， ），离心率为 e= . （1）求椭圆方程； （2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同 的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为 ，求 直 线l的倾斜角的取值范围. 解（1）根据题意可设