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6.1 定积分的概念 第6章 定积分及其应用 二. 定积分的定义 一. 曲边梯形的面积 三. 定积分的性质 6.1 定积分的概念 在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了 近似值. 在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采 用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三 角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得 到任意多边形的面积。 阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值. 就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将 它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出 各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面 积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）. 如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果? 6.1.1 曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）. 1. 曲边梯形 2. 求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法： 分划代替求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值. 第一步：分划第一步：分划任意引入分点 称为区间的一个分法 T 第二步：代替第二步：代替 对每个小曲边梯形均作上述的代替 第三步：求和第三步：求和 第四步：取极限第四步：取极限 6.1.2 定积分的定义 任意引入分点 定积分符号： 关于定积分定义的几点说明 例6.1.1 解 所以 定理定理 1 1 6.1.3 定积分存在的条件 定理定理 2 2 定理定理 3 3 定理定理 4 4 6.1.4定积分的几何意义 由极限保号性： 面积： 例6.1.2（见教材） 6.2 定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限, 所以极限 的某些性质在定积分中将有所反映. 在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可 积, 所出现的定积分均存在. 证由定积分定义及极限运算性质： 可以推广可以推广 至有限个至有限个 可积函数可积函数 的情形的情形. . 证 证 (小于零的情形类似. ) 由极限的保号性立即可知. 代数和代数和 例1 证/ / 有什么结论？ 换成 例2 证 / 与性质与性质 3 3 的推论的推论 1 1 不同，不同， 这里的结论是严格不等号！这里的结论是
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