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数学压轴题 二次函数动点问题1.如图,抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,)当x4和x2时,二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等,连结AC、BC(1)求实数a,b,c的值;(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时,连结MN,将BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由题意得 解得a,b,c(2)由(1)知yx 2x,令y0,得x 2x0解得x13,x21A(3,0),B(1,0)又C(0,),OA3,OB1,OC,AB4,BC2tanACO,ACO60,CAO30同理,可求得CBO60,BCO30,ACB90ABC是直角三角形又BMBNt,BMN是等边三角形BNM60,PNM60,PNC60RtPNCRtABC,由题意知PNBNt,NCBCBN2t,tOMBMOB1如图1,过点P作PHx轴于H,则PHPMsin60MHPMcos60OHOMMH1点P的坐标为(1,)(3)存在由(2)知ABC是直角三角形,若BNQ与ABC相似,则BNQ也是直角三角形二次函数yx 2x的图象的对称轴为x1点P在对称轴上PNx轴,PN对称轴又QNPN,PNBN,QNBNBNQ不存在以点Q为直角顶点的情形如图2,过点N作QN对称轴于Q,连结BQ,则BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形,且QNPN,MNQ30PNQ30,QNtan60,当BNQ以点N为直角顶点时,BNQ与ABC不相似如图3,延长NM交对称轴于点Q,连结BQ,则BMQ120AMP60,AMQBMN60,PMQ120BMQPMQ,又PMBM,QMQMBMQPMQ,BQMPQM30BNM60,QBN90CAO30,ACB90BNQABC当BNQ以点B为直角顶点时,BNQABC设对称轴与x轴的交点为DDMQDMP60,DMDM,RtDMQRtDMPDQPD,点Q与点P关于x轴对称点Q的坐标为(1,)综合得,在抛物线的对称轴上存在点Q(1,),使得以B,N,Q为顶点的三角形与ABC相似2.如图,已知抛物线yax 2bx3(a0)与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标解:(1)由题意得解得所求抛物线的解析式为yx 22x3;(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(1,)或P(1,)或P(1,6)或P(1,);(3)解法一:过点E作EFx轴于点F,设E(m,m 22m3)(3 a 0)则EFm 22m3,BFm3,OFmS四边形BOCE SBEF S梯形FOCEBFEF (EFOC)OF(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)m 2m(m)2当m时,S四边形BOCE 最大,且最大值为此时y()22()3此时E点的坐标为(,)解法二:过点E作EFx轴于点F,设E(x,y)(3 x 0)则S四边形BOCE SBEF S梯形FOCEBFEF (EFOC)OF(3x) y(3y)(x)(yx)(x 23x3)(x)2当x时,S四边形BOCE 最大,且最大值为此时y()22()3此时E点的坐标为(,)3.如图,已知抛物线yax 2bxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OAOC)是方程x 25x40的两个根,且抛物线的对称轴是直线x1(1)求A、B、C三点的坐标;(2)求此抛物线的解析式;(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DEBC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由解:(1)OA、OC的长是方程x 25x40的两个根,OAOCOA1,OC4点A在x轴的负半轴,点C在y轴的负半轴A(1,0),C(0,4)抛物线yax 2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为(3,0)A、B、C三点的坐标分别是:A(1,0),B(3,0),C(0,4)(2)点C(0,4)在抛物线yax 2bxc图象上,c44分将A(1,0),B(3,0)代入yax 2bx4得 解得此抛物线的解析式为yx 2x4(3)BDm,AD4m在RtBOC中,BC 2OB 2OC 23 24 225,BC5DEBC,ADEABC,即DE过点E作EFAB于点F,则sinEDFsinCBA,EFDE4mS SCDE SADC SADE(4m)4(4m)(4m)m 22m(m2)22(0m4)0 当m2时,S有最大值2此时ODOBBD321此时D点坐标为(1,0)4.如图,抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(2,6)(1)求a的值及直线AC的函数关系式;(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N求线段PM长度的最大值;在抛物线上是否存在这样的点M,使得CMP与APN相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由解:(1)由题意得6a(23)(21),a2抛物线的解析式为y2(x3)(x1),即y2x 24x6令2(x3)(x1)0,得x13,x21点A在点B右侧,A(1,0),B(3,0)设直线AC的函数关系式为ykxb,把A(1,0)、C(2,6)代入,得 解得直线AC的函数关系式为y2x2(2)设P点的横坐标为m(2 m 1),则P(m,2m2),M(m,2m 24m6)PM2m 24m6(2m2)2m 22m42(m)2当m时,线段PM长度的最大值为存在. M1(0,6), M2(,)如图1,当M为直角顶点时,连结CM,则CMPM,CMPANP点C(2,6),点M的纵坐标为6,代入y2x 24x6得2x 24x66,x2(舍去)或x0M1(0,6)(此时点M在y轴上,即抛物线与y轴的交点,此时直线MN与y轴重合,点N与原点O重合))如图2,当C为直角顶点时,设M(m,2m 24m6)(2 m 1)过C作CHMN于H
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