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第三章 平面任意力系 第三章 平面任意力系 第三章 平面任意力系 平面任意力系 指各力作用线在同一平面内且 任意分布的力系 主要研究内容 v力的平移定理 v平面任意力系的平衡条件及其应用 v静定与超静定问题，物体系统的平衡 v摩擦 第三章 平面任意力系 第三章 平面任意力系 起重吊车中的梁A、B，其受力图如图）所示，受到 同一平面内任意力系的作用。 G1 G2 G1 G2 FT 第三章 平面任意力系 第三章 平面任意力系 曲柄连杆机构,受有压力P、力偶 M 以及约束反力FAX 、FAY和FN 的作用。这些力构成了平面任意力系。 第三章 平面任意力系 第三章 平面任意力系 沿直线行驶的汽车,它所受到的重力G ，空气阻 力F 和地面对前后轮的约束力的合力FRA 、FRB 都可简化到汽车纵向对称平面内,组成一平面任 意力系。 G 第三章 平面任意力系 31 力的平移定理 定理 作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动 到刚体上任意一点，但必须同时附加一个 力偶，其力偶矩等于原来的力 F 对平移点 之矩。 证明 如下图所示： a)b)c) 第三章 平面任意力系 31 力的平移定理 意义 力的平移定理是力系向一点简化的理论依 据,而且还可以分析和解决许多工程问题。 图示的厂房立柱，受到行车 传来的力F的作用。可利用力 的平移定理将F力平移到中心 线O处。 立柱在偏心力F的作用下相 当于O处有一力 和力偶矩 为M的力偶作用。 M 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 1. 利用力的平移定理对平面任意力系进行简化 设作用在刚体上有一平面任意力系F1、F2、F n 如图所示。将力系 中的每个力向平面内任意一点O平移。O点称为简化中心。 F1= F1, F2= F2 , Fn = Fn M1=Mo(F1), M2= Mo(F2)，M n =Mo(F n) 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 M o=M 1+M 2+M n =M o(F1)+ Mo(F2)+Mo(F n )=M o(F i) FR=F1+F2+F n=F 结论 在一般情形下,平面任意力系向作用面内任意一点O简化,可得到 一个通过简化中心O的力和一个力偶。这个力等于该力系的矢量和,这 个力偶矩的等于该力系对简化中心O的力矩的代数和。 平面一般力系 平面汇交力系 合成 F （合力） 平面力偶系 合成 Mo（合力偶） 向一点简化 得到： 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 2.平面任意力系的平衡条件 (1) 所有各力在x轴上 的投影的代数和为零 (2) 所有各力在y轴上 的投影的代数和为零 (3) 所有各力对于平 面内的任一点取矩的 代数和等于零 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 求解平面任意力系中未知量的步骤如下 ： (1) 确立研究对象,取分离体,作出受力图。 (2) 建立适当的坐标系。在建立坐标系时，应 使坐标轴的方位尽量与较多的力（尤其是未知 力）成平行或垂直,以使各力的投影计算简化。 在列力矩式时,力矩中心应尽量选在未知力的交 点上,以简化力矩的计算。 (3) 列出平衡方程式,求解未知力。 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 例3-1 起重机的水平梁AB,A端以较链固 定,B端用拉杆BC拉住,如图所示。梁重G1 =4kN,载荷重G2 =10kN。梁的尺寸如图示。 试求拉杆的拉力和铰链A的约束力。 G2 1 第三章 平面任意力系 G2 1 32平面任意力系的平衡条件及其应用 解：取梁AB为研究对象。 已知力:G1和G2 未知力：拉杆BC 的拉力FT， BC为 二力杆 铰链A处有约束 反力 取坐标轴Axy 如图 FT FAx FAy x y 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 列平衡方程 （1） （2） （3） FAx=15.01kN FAy=5.33kN 第三章 平面任意力系 F 32平面任意力系的平衡条件及其应用 3.固定端约束 固定端既限制物体向任何方向移动, 又限制向任何方向转动。 紧固在刀架 上的车刀 工件被夹持 在卡盘上 埋入地面 的电线杆 房屋阳台 F 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 固定端约束反力特点 AB杆的A端在墙内固定牢靠,在任 意已知力或力偶的作用下,则使A 端既有移动又有转动的趋势。 A 端受力如图 在平面力系情况下,固定端A 处 的约束反力作用可简化为两个 约束反力F Ax、 FAy和一个力偶矩 为MA的约束反力偶 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 例3-2 梁AB一端固定、一端自由，如图所 示。梁上作用有均布载荷，载荷集度为 q(kN/m)。在梁的自由端还受有集中力F和力 偶矩为M的力偶作用，梁的长度为l，试求固 定端A处的约束力。 F M 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 解：(1)取梁AB为研究对象并画出受力图，如图所示。 (2)列平衡方程并求解。注意均布载荷集度是单位长 度上受的力,均布载荷简化结果为一合力，其大小等 于q与均布载荷作用段长度的乘积，合力作用点在均 布载荷作用段的中点。 F q B A l M FAx FAy MA y x 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 解得 F q B A l M FAx FAy MA y x 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 平面平行力系 力作用线在同一平面内且相互平行的力系, 它是平面任意力系的一种特殊情形。 如图：设物体受有平面平行力系F1 、F2、F n的作用 ，则平面平行力 系独立的平衡方程只有两个即 4.平面平行力系的平衡方程 或 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 例3-3 塔式起重机如图所示。 机架重G=700kN,作用线通过 塔架的中心。最大起重量G1= 200kN,最大悬臂长为12m，轨 道AB的间距为4m。平衡块重G2 到机身中心线距离为6m。试问 : (1) 保证起重机在满载和空 载时都不致翻倒,求平衡块的 重量G2应为多少? (2) 当平衡块重G2 =180kN时, 求满载时A、B给起重机轮子 的约束力? G G1 G2 第三章 平面任意力系 G G1 G2 32平面任意力系的平衡条件及其应用 解：取整个起重机为研究对象 已知力：机架的重力G 和载荷的重力,满载为 G1，空载为零 未知的力：轨道对起重 机的约束力FNA和FNB， 平衡块的重力G2 FNB FNA 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 （1） 列出平衡方程 当满载时,为了使起重机不致绕B点翻倒,力系 必须满足平衡方程 。在临界情况 下,FNA=0,这时可求出G2所允许的最小值。 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 当空载时,G1=0。为使起重机不致绕A点翻 倒,力系必须满足平衡方程 。 在临界情况下,FNB=0，这时可求出G2所允 许的最大值。 起重机实际工作时不允许处于极限状态，为 了使起重机不致翻倒，平衡块的重量应为: 75kNG2350kN 第三章 平面任意力系 32平面任意力系的平衡条件及其应用 （2） 当取定平衡块G2=180kN,欲求此起重机满载时导轨对 轮子的约束反力FNA和FNB。这时,起重机在G、G1、 G2和 FNA、F NB 作用下处于平衡。应用平面平行力系的平衡方 程式，有 （1） （2） 由式(1)解得 代入(2)解得 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 1 静定与超静定问题 静定问题 当研究刚体在某种力系作用下处于平衡 时，若问题中需求的未知量的数目等于该力系独立 平衡方程的数目,则全部未知量可由静力学平衡方程 求得,这类平衡问题称为静定问题。如图所示： 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 超静定问题 如果问题中需求的未知量的数目大于该力系独立 平衡方程的数目,只用静力学平衡方程不能求出全部未知量,这 类平衡问题称为超静定问题,或称为静不定问题。如图所示： 超静定次数：超静定问题的总未知量数与独立的平衡方程总数之 差称为超静定次数 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 2. 物体系统的平衡 物体系统： 工程结构或机械都可抽象为由许多物体 用一定方式连接起来的系统,称为物体系统。 系统外力： 系统外的物体作用在系统上的力称为系 统外力。 系统内力： 把系统内部各部分之间的相互作用力称 为系统内力。 系统的内力和外力也是相对的，要根据所 选择的研究对象来决定。 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 求解静定物体系统平衡问题步骤 选取整体结 构为研究对象 选取某部分或 某物体为研究 对象 求未知量 选其他部分 为研究对象 求未知量 总的原则是:使每一个平衡方程中未知量的数目尽量 减少,最好是只含一个未知量,可避免求解联立方程。 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 例3-4 如图所示的4字构 架,它由AB、CD和AC杆 用销钉连接而成,B端插入 地面,在D端有一铅垂向下 的作用力F。已知 F=10kN,l=1m，若各杆重 不计,求地面的约束力,AC 杆的内力及销钉E处相互 作用的力。 F 第三章 平面任意力系 F 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 解 ： 先取整个构架为研究对象 , 分析并画整体受力图。 在D端受有一铅垂向下的 力F 在固定端B处受有约束反 FBx及FBy和一个约束力偶 MB FBx FBy MB 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 取坐标系Bxy如图所示，列平衡方程: 第三章 平面任意力系 C E D F 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 取CD杆为研究对象 C 处所受的约束力Fc的方向是沿AC杆轴线 。 E处是用销钉连接的,故在E处所受的约束力方向不能确定 。 AC杆为二力杆 假设为拉力 取坐标系Exy Fc FEy FEx y x D处有作用力F 第三章 平面任意力系 33 静定与超静定的概念 物体系统的平衡 列平衡方程： 负号说明力的 实际指向与假 设方向相反 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 摩擦：两相接触的物体当有相对运动或相对运动趋势时 两物体间彼此产生了相互阻碍其运动的现象。 有害：给机械带来多余阻力，使机械发热，引起零件磨 损、噪声和消耗能量。 有利：用于传动，制动，调速等，没有摩擦，人不能走 路，车不能行驶 。 两种基本形式：滑动摩擦和滚动摩擦。 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 滑动摩擦 滑动摩擦力： 两个相互接触的物体，发生相对滑动或存在 相对滑动趋势时，在接触面处，彼此间就会有阻碍相对滑 动的力存在，此力称为滑动摩擦力。 滑动摩擦力作用在物体的接触面处 方向沿接触面的切线方向并与物体相对滑动 或相对滑动趋势方向相反 滑动摩擦力分为静滑动摩擦力和动滑动摩擦力 根据两接触物体之间 是否存在相对运动 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 静滑动摩擦力 静滑动摩擦力：两个相互接触的物体，当具 有相对滑动趋势时，重量为G的物体沿接触 面间所产生的摩擦力称为静滑动摩擦力。 其方向与物体相对滑 动的趋势相反 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 分析 在水平桌面上放一重G的物块 ，用一根绕过滑轮的绳子系 住，绳子的另一端挂一砝码 盘。 物 块 平 衡 FT的大小就等于砝码及砝码盘重量 的总和 FT使物块产生向右的滑动趋势 静摩擦力F 阻碍物块向右滑动 F=FT 当FT不超过某限度时 FT 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 满足 0FfFfmax (最大静摩擦力) 静摩擦力的大小 最大静滑动摩擦定律 F fmax f sFN 比例常数fs 称为静滑动摩擦系数，简称静摩擦系数 。 大小主要取决于接触面的材料及表面状况 (粗糙度、温度、湿度等)有关 ，无量纲 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 动滑动摩擦力 动滑动摩擦力：当两个相互接触的物体发生相对滑动 时，接触面间的摩擦力。 动摩擦力的方向与物体接触部位相对滑动的方向相 反，大小与接触面之间的正压力成正比。 f d：动滑动摩擦系数，它主要取决于物体接触表面的材 料性质与物理状态（光滑程度、温度、湿度等等），与 接触面积的大小无关 。 Fd f dFN 动摩擦系数f d一般小于静摩擦系数fs，但在精度要求 不高时，可近似地认为二者相等 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 滑动摩擦力分三种情况 1）物体相对静止时(只有相对滑动趋势)，根据其 具体平衡条件计算； 2）物体处于临界平衡状态时(只有相对滑动趋势) ，Fs= Ffmax=fsFN ； 3）物体有相对滑动时， F=Fd= fdFN 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 摩擦角 :全约束力与法线间的夹角的最大值m 自锁 ：如果主动力的合力FR的作用线在摩擦角内，则不论 FR的数值为多大，物体总处于平衡状态，这种现象在工程 上称为 “自锁”。 即： GGG 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 考虑摩擦力时物体的平衡问题 特点： 满足平衡条件 画受力图时必须考虑摩擦力,其摩擦力的方向 与相对滑动(或趋势)的方向相反,不可任意假设 。 物体的平衡条件有一定的范围,是个未知量 。 列出摩擦力方程作为补充方程 ，与原有的 静力平衡方程联立求解。 第三章 平面任意力系 34 摩 擦 例3-5 用绳拉重G=500 N的物体,物体与地面的摩擦系 数fs =0.2，绳与水平面间的夹角 =30