[教育学]夜大《高数》D专升本 第一部分 无穷级数.ppt

D D 上海大学数学系上海大学数学系 王培康王培康 高高 等等 数数 学学 1 1 高等数学高等数学 D D 本本 课课 程程 教教 学学 内内 容容 第七章第七章 无穷级数无穷级数 ( (第六节不要求第六节不要求) ) 第八章第八章 微分方程微分方程 ( (第七节不要求第七节不要求) ) 第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学 ( (第六、七节不要求第六、七节不要求) ) 第十一章第十一章 重积分重积分 ( (第三节不要求第三节不要求) ) 本本 课课 程程 考考 核核 方方 式式 1. 1. 期末考试期末考试 ( (半开卷，占总评成绩半开卷，占总评成绩70%)70%) 2. 2. 平时考勤记录平时考勤记录 ( (占总评成绩占总评成绩30%)30%) 2 2 高等数学高等数学 D D 第七章第七章 无穷级数无穷级数 3 3 高等数学高等数学 D D 无穷级数是高等数学的一个重要组成无穷级数是高等数学的一个重要组成 部分部分, , 是表示函数、研究函数的性质以及是表示函数、研究函数的性质以及 进行数值计算的一种有力工具进行数值计算的一种有力工具. . ( (常常) )数项级数数项级数 级数级数 幂级数幂级数 函数项级数函数项级数 正项级数正项级数 任意项级数任意项级数 傅里叶级数傅里叶级数 ( (交错级数交错级数) ) 4 4 高等数学高等数学 D D 第一节第一节 无穷无穷级数的基本概念和性质级数的基本概念和性质 一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念 1. 1. 定义定义: : 称为常数项无穷级数常数项无穷级数, 简称常数项级数常数项级数, 设给定一个数列 问题问题: : (即有没有和数) 其中 u u n n 称为级数的一般项一般项(或通项通项). 或 无穷级数无穷级数, 或级数级数. 5 5 高等数学高等数学 D D 2. 2. 部分和数列部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的, 无限项相加是否有和数? 可能有, 也可能没有. 如何研究它? 通过有限项之和去认识和研究无限项之和. 定义定义: :级数前n项之和: 组成的数列称为级数的部分和数列部分和数列. 6 6 高等数学高等数学 D D 部分和数列Sn： 显然, 7 7 高等数学高等数学 D D 发散的级数没有和. 极限值 S 称为级数的和. 3. 3. 级数的收敛和发散级数的收敛和发散 定义定义： ( C C ) ( D D ) 8 8 高等数学高等数学 D D 其差值 rn = 称为级数的余项余项. 9 9 高等数学高等数学 D D 讨论等比级数等比级数 (几何级数几何级数) 的敛散性： 例例1. 1. 解解: : 1010高等数学高等数学 D D 1111高等数学高等数学 D D 解解: : 原级数 (D) 例例2. 2. 1212高等数学高等数学 D D 例例3. 3. 解解: : 原级数 (C) 1313高等数学高等数学 D D 二、级数的基本性质二、级数的基本性质 性质性质1. 1. k 是常数, 证: 证毕 1414高等数学高等数学 D D 推论推论: : 性质性质1. 1. k 是常数, 1515高等数学高等数学 D D 性质性质2. 2. 收敛级数可逐项相加减收敛级数可逐项相加减. . 设有两个收敛级数 推论推论: : 1616高等数学高等数学 D D 由性质2： 矛盾！ 推论推论: : ( (C C) + ( ) + (D D) = () = (D D) ) 证证: : (C) + (C) = (C) 1717高等数学高等数学 D D 两个发散级数逐项相加减后的情况不定两个发散级数逐项相加减后的情况不定. . 如: 1818高等数学高等数学 D D 在级数前加上或去掉或改变有限项, 不影响 级数的敛散性, 但收敛时其和会改变. (C), 例: 性质性质3. 3. (C)(C) 1919高等数学高等数学 D D 收敛级数对其项任意加括号后所组成 的级数仍然收敛, 且其和不变. 证证: : 部分和为 Sn , 性质性质4. 4. 按某一规律加括号后的级数: 证毕 该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律. 2020高等数学高等数学 D D 发散级数加括号后所成级数不一定发散.注1. 例: (D) (C) 加括号后所成的级数发散,3. 则原级数也发散. 甚至, 对一个发散的级数, 若按不同的方式加括号, 所得的级数可能收敛于不同的和. 发散的级数不满足加法结合律. 收敛于 0,加括号后所得的级数 (D) 添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级2. 例: 数收敛. 而原来的级数 2121高等数学高等数学 D D 性质性质5. 5. 证证: : ( (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件) ) 说明说明 2222高等数学高等数学 D D 级数发散. 例2: 证明调和级数 发散. 证证: : (反证) 此时 解解: : 2323高等数学高等数学 D D 但 矛盾! 2424高等数学高等数学 D D 课课 外外 作作 业业 习题 7 1 (第173页) 4(1, 2, 3) 2525高等数学高等数学 D D 习题习题7-1 (7-1 (第第173173页页) ) 4. 4. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性: : 级数为等比级数,公比为 级数收敛; 级数发散. 2626高等数学高等数学 D D 4. 判断下列级数的敛散性: 等比级数的公比为 则由性质1知原级数收敛. 等比级数的公比为 2727高等数学高等数学 D D 4. 判断下列级数的敛散性: 则由级数收敛的必要条件知原级数发散. 2828高等数学高等数学 D D 1. 1. 定义定义: : 许多级数敛散性的判断都可以归结许多级数敛散性的判断都可以归结 为正项级数的敛散性的判断为正项级数的敛散性的判断. . 第二节第二节 正正项级数项级数 2929高等数学高等数学 D D 2. 2. 正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 证证: : 收敛数列必有界, 定理定理: : (C)证毕证毕 3030高等数学高等数学 D D 如: 有界 无界 则其必发散. 3131高等数学高等数学 D D 3. 3. 审敛法（判别法）审敛法（判别法） 比较审敛法比较审敛法: :设有两个正项级数 (C),(C).(1) (2)(D),(D). 则 （大（大的的收敛则小的也收敛）收敛则小的也收敛） （小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散） 3232高等数学高等数学 D D 证证: : (1) (2) 3333高等数学高等数学 D D 推论推论. . 即正项级数若从某项后满足比较审即正项级数若从某项后满足比较审 敛法的条件敛法的条件， 仍得同样结果仍得同样结果. . 结论同样成立; 甚至上式只要在某个自然数后开始成立 即可. 3434高等数学高等数学 D D ( (重要级数重要级数) ) 证证: : 3535高等数学高等数学 D D 证毕 3636高等数学高等数学 D D 因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较, 等比级数 P - 级数 所以必须掌握一些已知敛散的级数. 常用: 调和级数(D) 3737高等数学高等数学 D D 例1. 判别下列正项级数的敛散性: (1) 解解: : 3838高等数学高等数学 D D (2) 解解: : 3939高等数学高等数学 D D (3) 解解: : 4040高等数学高等数学 D D 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: : 设正项级数 4141高等数学高等数学 D D 例2：判别前例中级数(1),(2)的敛散性： 原级数收敛. 解解: : 4242高等数学高等数学 D D 原级数发散. 解解: : 4343高等数学高等数学 D D 解解: : 例3: 判别级数的敛散性: 原级数发散. 4444高等数学高等数学 D D 解解: : 原级数收敛. 4545高等数学高等数学 D D 解：解： 原级数收敛. 4646高等数学高等数学 D D 比值审敛法（达朗贝尔判别法）比值审敛法（达朗贝尔判别法） 设正项级数 则当 敛散性不定 4747高等数学高等数学 D D 解解: : 原级数收敛. 例1: 判别下列正项级数的敛散性: 4848高等数学高等数学 D D 解解: : 原级数收敛. = 4949高等数学高等数学 D D (3) 解解: : 由此题结论还可得: 5050高等数学高等数学 D D 前面介绍的判别正项级数敛前面介绍的判别正项级数敛 散性的比较、比值审敛方法，它散性的比较、比值审敛方法，它 们都是充分条件。如果用它们无们都是充分条件。如果用它们无 法判断该正项级数敛散性，那么法判断该正项级数敛散性，那么 就要尝试用级数收敛的定义、收就要尝试用级数收敛的定义、收 敛级数的性质等去判别。敛级数的性质等去判别。 5151高等数学高等数学 D D 课课 外外 作作 业业 习题 7 2 (第177页) 1(4, 5), 2(1) 5252高等数学高等数学 D D 第三节第三节 交错级数与交错级数与任意项级数任意项级数 各项正负交错的级数称为交错级数交错级数. 定义定义: : 如: 其中 一、一、交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 5353高等数学高等数学 D D 交错级数审敛法（莱布尼兹定理交错级数审敛法（莱布尼兹定理） 若交错级数满足条件: 则此级数收敛收敛, 5454高等数学高等数学 D D 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: : (1) 解解: : 例例: : 莱布尼兹级数莱布尼兹级数 5555高等数学高等数学 D D (2) 解解: : 5656高等数学高等数学 D D 二、任意项级数二、任意项级数 任意项级数的敛散情况有下列三种: 对任意项级数, 一般有无穷多正项, 无穷多负项,但其各项的绝对值 组成了正项级数: 1. 绝对收敛;2. 条件收敛;3. 发散. 5757高等数学高等数学 D D 定义: ( (A.CA.C) ) ( (C.CC.C) ) 5858高等数学高等数学 D D 定理定理: : 绝对收敛的级数必收敛。 5959高等数学高等数学 D D 证证: : 6060高等数学高等数学 D D 说明说明: : 绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数, , 反之反之 不成立不成立, , 即收敛级数未必是绝对收敛级即收敛级数未必是绝对收敛级 数数. 例: 6161高等数学高等数学 D D 判别下列级数的敛散性, 若收敛则说明是 绝对收敛还是条件收敛: 例例: : 6262高等数学高等数学 D D (2) 6363高等数学高等数学 D D (3) 用比值法 6464高等数学高等数学 D D (4) 6565高等数学高等数学 D D 为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛? 绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不 因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的, 而条件收敛的级数不具备. 如: 性质性质. . 改变它的收敛性及和数. 注: 条件收敛的级数不具有这一性质. 如:条件收敛, 其和记为 S 可以证明重新排序后的级数 收敛于 6666高等数学高等数学 D D 条件收敛, 其和记为 S 证明重新排序后的级数 收敛于 它收敛于 再将它与原级数逐项相加, 得重新排序后的级数 显然收敛于 6767高等数学高等数学 D D 黎曼于1854年证明了: 可以把任何一个 条件收敛的级数的项适当重排, 使新级数收 敛于任何事先指定的数; 也可以使重排后的 级数发散于正无穷大或负无穷大. 6868高等数学高等数学 D D 课课 外外 作作 业业 习题 7 3(第181页) 1(2, 4, 6, 9) 6969高等数学高等数学 D D 习题习题 7-2 (7-2 (第第177177页页) ) 1. 用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛 散性: 则由正项级数的比较判别法知原级数收敛. 7070高等数学高等数学 D D 则由正项级数的比较判别法极限形式知原级数收敛. 1. 用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛 散性: 7171高等数学高等数学 D D 则由正项级数的比值判别法知原级数发散. 2. 用比值判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛 散性: 7272高等数学高等数学 D D 四、四、 幂幂 级级 数数 7373高等数学高等数学 D D （一）函数项级数的概念（一）函数项级数的概念 定义定义: : 简称 (函数项) 级数级数. 称为定义在区间 I 上的函数项无穷级数函数项无穷级数, 7474高等数学高等数学 D D 收敛点全体称为它的收敛域收敛点全体称为它的收敛域. 发散点全体称为它的发散域发散点全体称为它的发散域. 7575高等数学高等数学 D D 对于 I 中的每一点, 不是收敛点就是发散 点. 对收敛域内任一点 x, 函数项级数退化为 一收敛的常数项级数, 所以有一确定的和 S, 显然 S 与 x 有关, 由 x 惟一确定 . 所以收敛域上函数项级数的和是点所以收敛域上函数项级数的和是点 x x 的函数的函数, , 记为 S S( (x x) ),称为函数项级数的和函数和函数, 其定义域就是 ( (注意注意, , 与一般项与一般项 u u n n ( (x x) ) 的定义域不同的定义域不同) ) 7676高等数学高等数学 D D 同样, 7777高等数学高等数学 D D 解解： 所以 的收敛域为 (1, 1). 由前面的讨论可知 当时, 这级数收敛于和 当时,这级数发散 发散域为 和函数为 注意: 和函数的定义域小于级数的定义域. 7878高等数学高等数学 D D 习题习题 7 3 (7 3 (第第 181 181 页页) ) 1. 判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数, 指出是绝对收敛? 还是条件收敛? 则原级数绝对收敛. 7979高等数学高等数学 D D 则原级数绝对收敛. 1. 判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数, 指出是绝对收敛? 还是条件收敛? 8080高等数学高等数学 D D 则原级数绝对收敛. 1. 判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数, 指出是绝对收敛? 还是条件收敛? 8181高等数学高等数学 D D 则原级数发散. 1. 判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数, 指出是绝对收敛? 还是条件收敛? 8282高等数学高等数学 D D (二二) ) 幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域 定义定义: : 的级数称为幂级数幂级数. 其中常数 称为幂级数的系数, 形如 显然, 幂级数的定义域为 显然是幂级数的收敛点. 8383高等数学高等数学 D D 幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种, 定理定理1 1 （阿贝尔定理）（阿贝尔定理） 其收敛域如何? 在收敛域内, 和函数如何求? 8484高等数学高等数学 D D 即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂. . (1) 说明：说明： 发 散发 散收 敛 收敛发散 8585高等数学高等数学 D D 收敛半径收敛半径, 记为 R R. (2)在收敛域与发散域之间的分界点 上, 幂级数可能收敛也可能发散, 发 散发 散收 敛 8686高等数学高等数学 D D 推论推论: : 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定 的正数 R 存在, 使得： 8787高等数学高等数学 D D 则 R = 0, 收敛区间收敛区间, 收敛域收敛域为 四种情况之一. 8888高等数学高等数学 D D 如果幂级数在处条件收敛, 那么该幂级数的收敛半径为多少? 思考：思考： 8989高等数学高等数学 D D 若: 9090高等数学高等数学 D D 求下列幂级数的收敛半径与收敛区间. 解解: :由定理 2： 例例: : 1. 9191高等数学高等数学 D D 解解: : 9292高等数学高等数学 D D 解解: : 9393高等数学高等数学 D D 解解: : 所以 R = 1,收敛区间为 9494高等数学高等数学 D D （三）（三） 幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质 1) 加减法 1. 1. 代数运算代数运算 9595高等数学高等数学 D D 柯西乘积 9696高等数学高等数学 D D 2) 乘法 (柯西乘积) 9797高等数学高等数学 D D 2 . 2 . 分析运算分析运算 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同 的收敛半径, 但在端点处敛散性可能会改变. 9898高等数学高等数学 D D (反复用上述结论, 可知 S(x) 在收敛域内有 任意阶导数) 逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的 收敛半径, 但在端点处敛散性可能会改变. 9999高等数学高等数学 D D 用逐项求导逐项求导或逐项积分逐项积分的方法, 可 求得一些级数在收敛区间内的和函数和函数. 100100高等数学高等数学 D D 求下列幂级数的收敛区间与和函数: 解解: : 不必先求收敛区间, 在求和函数的过程中 可求得收敛区间. 先逐项求导: 101101高等数学高等数学 D D 102102高等数学高等数学 D D 先逐项积分: 解解: : 103103高等数学高等数学 D D 可见可见, , 关键在于求导或积分后所得的幂级关键在于求导或积分后所得的幂级 数能写出和函数数能写出和函数. . 104104高等数学高等数学 D D 课课 外外 作作 业业 习题 7 4 (第186页) 1(1, 2, 5), 3(1, 2) 105105高等数学高等数学 D D 习题习题 7 4 (7 4 (第第 186 186 页页) ) 1. 求下列级数的收敛域: 106106高等数学高等数学 D D 3. 求下列级数的收敛区间及和函数: 107107高等数学高等数学 D D 五、五、 函数展开为幂级数函数展开为幂级数 108108高等数学高等数学 D D （一）泰勒一）泰勒( (TaylorTaylor) )级数级数 109109高等数学高等数学 D D 展开到 n 阶 拉格朗日 型余项. 110110高等数学高等数学 D D 定义定义: : 若 在 处有任意阶导数, 则称： 问题问题：1) 上述级数的收敛域是什么 ? 2) 在收敛域上, 其和函数是否为 f (x) ? 3) 把 f (x) 展开成幂级数是否就是上述形式 ? 或者说把 f (x) 展开成幂级数形式是否唯一 ? 111111高等数学高等数学 D D 定理定理1:1: 证明证明: : 112112高等数学高等数学 D D 113113高等数