[自然科学]第五章_线性时不变系统的变换分析.ppt

第五章 线性时不变系统变换分析 Transform Analysis of Linear Time-Invariant Systems 5.0 引言 傅立叶变换 ，z变换 分析 LTI系统 LTI系统 单位脉冲响应 hn 频率响应H(ej)hn （傅立叶变换) - 存在（收敛） H(z) hn （z变换) - 傅立叶变换推广，收敛 LTI系统 hn， H(ej)， H(z) Y(ej)= H(ej)X(ej) Y(z) = H(z)X(z) H(z) - 系统函数（system function） 5.1 LTI系统的频率响应 频率响应 - 系统对指数输入（特征函数）ejn的复增益（特征值） 系统的输入输出关系（频域）： Y(ej)= H(ej)X(ej) | H(ej)| - 幅度响应，增益 H(ej) - 相位响应，相移 5.1.1 理想频率选择性滤波器 | H(ej)| 对不同频率的值决定了输出在响应频率上的值。 理想低通滤波器： 选取信号的低频成分，抑制信号的高频成分 其响应的单位脉冲响应： 理想高通滤波器 c 0 即 hn和-hn的系统具有相同零极点，而-1表示相位改变 （2）最小群延迟性质 任何非最小相位系统的群延迟可表示为： 与上相同，由于grdHap(ej) 0，具有与H(ej) 相同幅度响应的 Hmin(ej)其群延迟grd Hmin(ej)是最小的。 （3）最小能量延迟性质 如图5.30零极点分布的FIR系统具有相同的频率响应幅度（零点互为 共轭倒数） 其中图5.30（a）对应于最小相位系统。 相应的单位脉冲响应： 比较可见，最小相位系统最左端的几个样本值如图中的h0，h1 比其它几个系统都要大。 表示：最小相位系统具体最小的能量延迟（总能量相同，时域频域 ） 5.7 广义线性相位的线性系统 最理想的滤波器 - 频率响应幅度恒定，相移为零（零相位特性 ） 因果的滤波器（实际） - 非零相位 线性相位（相移） - 波形整体延迟（恒定的群延迟），波形保 持不失真 而非线性相位 - 波形失真 实际滤波器 真正或近似的线性相位系统 5.7.1 线性相位系统 考虑一个LTI系统的频率响应（一个周期内）： 式中为实数， 系统称为理想延迟系统（ideal delay system） 该系统具有恒定的幅度响应、线性相位和恒定的群延迟： 单位脉冲响应： 系统的输入、输出关系： 如果= nd 为整数，则有： 表示（具有线性相位和单位增益）输出 = 输入nd 个样本的移位。 一般的具有线性相位的系统： 可以看成零相位频率响应|H(ejw)|与理想延迟系统e-j的级联： 若H(ej)是如下线性相位理想低通滤波器： 相应的单位脉冲响应： c= 即为理想延迟系统 例5.16 具有线性相位的理想低通滤波器 频率响应 - 明确，线性相位 分析其单位脉冲响应的特性 - hn 图5.35（a）是c= 0.4， = nd = 5 时的hlpn： 可见当是整数时，单位脉冲 响应hlpn是对n = nd 对称的。 即 无限长，非因果 图5.35（b）是c= 0.4， = 4.5 时的hlpn： 整数再加半个样本延迟。 同样可以证明： 第三种情况是当c= 0.4， = 4.3，序列hlpn没有对称性。 无限长，非因果 结论：如果2为整数， 即是整数或整数再加1/2， 则单位脉冲响应是关于偶对称。 h2-n=hn 对称性 线性相位（恒定群延迟） 无确定关系。 5.7.2 广义线性相位 线性相位系统的频率响应： 实值非负的函数|H(ej)|与线性相位项e-j的 乘积。 相位的线性性完全与线性相位因子e-j相联系。 另一种情况：实值的函数A(ej) 与线性相位项e-j的 乘积。 实值的函数A(ej) - 有负值，即增添的相位- 非严格线性相位 但线性相位的很多优点也适用于这种情况，线性相位的定义与概念 作适当推广 广义线性相位系统 定义： ，实数， A(ej) 是的实函数（有正，有负） 相位： - + - 线性方程，同样具有恒定的群延迟 一般的线性相位形式： 广义线性相位系统单位脉冲响应的对称性讨论： 频率响应可表示为： 同时也可以用其定义来表示： H(ej)相位的正切可表示为： 交叉相乘并用三角恒等式合并，可得： 恒定群延迟系统hn ,和的一个必要条件 上述的方程式是一个隐式，无法根据方程求得一个线性相位系统。 例如，满足方程的一组条件： 用 = 0或代入，方程变为： 可以证明，如果2是整数，hn满足上式，上述方程中的各项就能 配对，以使得组成的每一对对全部都恒为零。 这组条件隐含 且A(ej) 是的偶函数。 另外，若 = /2或3/2，方程变为： 可以证明，条件： 满足上述方程，同时也表示 且A(ej) 是的奇函数。 归纳（条件）：hn关于2（整数）奇对称或偶对称。 h2-n = hn 方程 只是对于具有恒定群延迟（广义线性相位）系统的一个必要条件， 而非充分条件，即存在其他满足 的系统不具有上述的对称条件。 得出一个结论： 若 hn关于2（整数）奇对称或偶对称， 即 h2-n = hn 则 hn必为线性相位或广义线性相位系统（恒定的群延时） 当然，线性相位或广义线性相位系统（恒定的群延时） 其hn并不一定是关于2（整数）奇对称或偶对称。 实际使用中，考虑到设计的方便 将 h2-n = hn作为设计广义线性相位系统的条件 5.7.3 因果广义线性相位系统 上面讨论的具有奇偶对称性的hn(线性相位性) - 无限长（非因 果） 因果的必要条件可写为： 再根据hn的奇偶对称条件，可得： hn = 0, n M 结论：如果hn的长度为（M+1），并满足奇对称或偶对称条件， 则因果的FIR系统就具有广义线性相位。 用式子表示，若： 可以证明： Ae(ej) 是的实、偶、周期函数 同样，若： 就有： 式中Ao(ej) 是的实、奇、周期函数 广义线性相位系统FIR系统 （关系，IIR系统） FIR广义线性相位系统的4种类型： （1） hn = hM-n, 0n M， M为偶整数 频率响应： 由对称性 其中 （2） hn = hM-n, 0n M， M为奇整数 频率响应： （3）hn = - hM-n, 0n M， M为偶整数 频率响应： （4）hn = - hM-n, 0n M， M为奇整数 频率响应： 4种FIR线性相位系统的例子： 例5.17 第一种线性相位系统 单位脉冲响应： 频率响应： M = 4，群延迟 = 2 例5.18 第二种线性相位系统 hn延长一个样本，M = 5, = 5/2 频率响应： 例5.19 第三种线性相位系统 M = 2，群延迟 = 1 例5.20 第四种线性相位系统 M =1，群延迟 = 0.5 FIR线性相位系统的零点位置 系统函数： 对于hn 对称情况（第一、二种类型） 如果z0是H(z)的零点，那么， 因为z0-M 不为零， 表示z0 = rej是零点， z0-1 = r-1e-j也是H(z)的零点。 若hn是实序列， z0* = re-j以及(z0*)-1 = r-1ej也是H(z)的零点。 零点组（4个）： 零点在单位圆上，但不在实轴上情况： 零点在实轴，但不在单位圆上情况： 零点既在实轴，又在单位圆上情况（z=1）： z = -1情况 M为偶数： H(-1) = H(-1) M为奇数：H(-1) = -H(-1) H(-1) = 0 z = -1必定是系统的零点。 对于hn反对称情况（第三、四种类型） 可以证明： 零点的约束情况同上，但z = 1 和z = -1情况有特殊意义： 对z = 1 ，有：H(1) = -H(1) 无论M奇偶z = 1 必定是系统的零点。 对z = -1， H(-1) = (-1)-M+1H(-1) 若（M-1）为奇（M为偶）： H(-1) = -H(-1) z = -1在M为偶数时必定是系统的零点。 4种类型线性相位FIR系统零点分布图： 第一种 第二种 第四种 第三种 零点的约束：设计FIR线性相位系统的重要性频率响应的限制 例：高通滤波器，若用偶对称的hn逼近（实现）， M不应该选为奇数，因为M为奇数时： 频率响应必须在 = （高端频率）（z = -1）强制为零。 5.7.4 FIR线性相位系统与最小相位系统的关系 实hn的FIR线性相位系统零点：单位圆上，共轭倒数 FIR线性相位系统 最小相位项，最大相位项，单位圆上零点项 即：H(z) = Hmin(z)Huc(z)Hmax(z) Mi - Hmin(z)和Hmax(z)的零点个数。 Hmin(z) - 全部Mi 个零点都在单位圆内 Huc(z) -全部Mo 个零点都在单位圆上 Hmax(z) -全部Mi 个零点都在单位圆外， Hmin(z)零点的倒数 即Hmax(z) = Hmin(z-1) z-Mi 例5.21 一个线性相位系统的分解 例5.15的一个最小相位系统： 应用Hmax(z) = Hmin(z-1) z-Mi 求得响应的Hmax(z)： 如果两个系统级联，总系统： H(z) = Hmin(z)Hmax(z) - 线性相位 总系统的对数幅度、相位和群延迟分别为： Hmax(z) = Hmin(z-1) z-Mi 最小相位系统、最大相位系统、线性相位系统（级联总系统）的 对数幅度图 最小相位系统、最大相位系统、线性相位系统（级联总系统）的 相位图 最小相位系统、最大相位系统、线性相位系统（级联总系统）的 群延迟图 5.8 小结 傅立叶变换（频率响应），z变换（系统函数） LTI系统 LTI系统的一类重要系统：线性常系数差分方程表征 代数方程，有理函数形式系统函数，系数直接对应，零极点形式 频率响应- 幅度，相位，群延迟 线性相位（失真）- 轻微失真，整体移位，实际设计目标 FIR系统的重要性 - 设计成广义线性相位系统 IIR系统 - 单从幅度指标，更为经济有效 逆