次序统计量及其分布.ppt

5.3 次序统计量及其分布 定义 定义 5-3-1: 设为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic) 特别地，称 （5-3-1） 为最小顺序统计量(Minimum order Statistic) 称 （5-3-2） 为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。 例5-3-1：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均 匀分布，其分布列为 x 0 1 2 p 现从中抽取容量为 3 的样本，其一切可能取值有 种，现将它们以及由它们所构成的次序统 计量 的一切可能值列在表中(P243)， 由此可给出 的分布列如下： X(1)012 P19/277/271/27 X(2)012 P7/2713/277/27 X(3)012 P1/277/2719/27 可见这三个次序统计量的分布是不相同的。 进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布 ，如 x(1) 和 x(2) 的联合分布列为 x(2) x(1) 012 07/279/273/27 104/273/27 2001/27 易于看出 不等于 即 x(1) 和 x(2) 是不独立的。 次序统计量的分布 （一）单个次序统计量的分布 定理 5-3-1：设总体X的密度函数为 p (x) ，分布函数 为 F (x) ，x1, x2, , xn 为样本，则第 k 个次序统计 量 x (k) 的密度函数为 （5-3-3） 证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值落 在小区间 (x , x + x 内这一事件，它等价于“样本容 量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，有 n-k 个观测 值大于 x + x ”，其直观示意图见下图 5-8 . x x+x n-k k - 1 1 图 58 x (k) 的取值示意图 样本的每一分量小于等于 x 的概率为 F (x) , 落入区 间 ( x , x + x 概率为F(x+ x)-F(x),落入区间 (x+ x, b的概率为 1-F(x+x) ，而将 n 个分量分成这 样的三组，总的分法有 种，于是，若以 Fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多 项分布可得 两边同除以 x , 并令 x0 , 即有 推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为 推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为 (5-3-4) (5-3-5) 例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为 现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算 解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为 由公式（5-3-3）可以得到 x (2) 的密度函数为 于是 （二）多个次序统计量的联合分布 仅讨论任意二个次序统计量的情形。 定理 5-3-2 ：设总体 有密度函数 f (x) , a x b , （ 同样可设 a = - , b = + ) 。并且 1 , 2 , , n 是取 自这这一总总体的一个样样本，则则其任意两个次序统计统计 量 (1) 0 可以推出 则 该分布参数为 ( n-1, 2 ) 的贝塔分布。 总体分位数与样本分位数 （一）总体分位数 定义5-3-2： 设总体 X 的分布函数为 F (x) ，满足 (5-3-7) 的 x称为为 X 的 分位数，如下图图所示。 几种常用分布 的分位数 都在书后附表中可以查到。其中 N ( 0, 1 )是分布函 数表 ( x ) 反过来查，而其它几个分布,则是分别 对给出 的几个的常用值如 =0, 0.25, 0.05, 0.1, 0.9, 0.95, 0.975 等等，列出相应分布对应值的 分 位点。图 5-9 给出了四种常用分布的 分位点表示 方法，其中 N ( 0, 1 ) 的 分位点通常记成 u . 图 5-9 这里要注意到如下几个有用的事实。 ，要求的分位数 x, 可化成求 1) 若 N ( 0, 1 )的分位数 . 此时，故 从而 2） 对于 T t (n) ，由密度函数的对称性可知 即 （5-3-8） （5-3-9） 3）对于 F分布 由于 所以 即 （5-3-10） （二）样本分位数 定义5-3-3：设 为取自总体 X 的次序统计量，称 mp 为样本 p 分位数。（Sample p Quantile ) 特别地，当 p = 时，称 mp 为样本中位数。 （5-3-11） （5-3-12） 对多数总体而言，要给出样本 p 分位数的精确分布 通常不是一件容易的事，但当 n+ 时，样本 p 分 位数的渐近分布有比较简单的表达式，我们这里不 加证明地给出如下定理。 定理 5-3-4：设总体密度函数为 f (x) , xp 为其 p 分位 数， f (x) 在 xp 处连续且 f (x) 0 , 则当 n+ 时， 样本 p 分位数 mp 的渐近分布为 特别地，对样本中位数有 （5-3-13） 例5-3-2: 设总体 X 为柯西分布，其密度函数为 其分布函数为 易知，是该总该总 体的中位数，即 x = . 设是来自该总体的样本，则 当样本容量 n 较大时，样本中位数 m 0.5 的渐近分布 为 五数概括与箱线图 次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在 得到有序样本后，容易计算如下五个值： 最小观测值 x min = x (1) ; 最大观测值 x max = x (n); 中位数 m 0.5 ; 第一 4 分位数 Q 1 = m 0.25 第三 4 分位数 Q3 = m 0.75 。 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数 据的轮廓。 例 5-3-4 ：表 55 是某厂 160 名销售人员某月的销 售量数据的有序样本，由该批数据可计算得到： 五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成 。图5-11 是该例中样本数据的箱线图，其作法如下 下面就通过一个具体的实例说明之。 45747680879192939596 9899104106111113117120122122 124126127127129129130131131133 134134135136137137139141141143 145148149149149150150153153153 153154157160160162163163165165 167167168170171172173174175175 176178178178179179179180181181 188189189191191191192192194194 194194195196197197198198198199 200201202204204205205206207210 214214215215216217218219219221 221221221221222223223224227227 228229232234234238240242242242 244246253253255258282290314319 表 511 某厂 160 名销售员的月销售量的有序样本 （1）画一个箱子，其两侧恰为第一 4 分位数和第三 4 分位数，在中位数位置上画一条竖线，它在箱子 内，这个箱子包含了样本中 50% 的数据； 45 144 181 212 319 图 5-11 月销售量数据的箱线图 （2）在箱子左右两侧各引出一条水平线，分别至最 小值和最大值为止，每条线段包含了样本中 25% 的 数据。 箱线图可用来对数据分布的形状进行大致的判断。 图 5-12 给出三种常见的箱线图，分别对应对称分布 、左偏分布和右偏分布。 左偏 对称 右