《C1函数的积分》PPT课件.ppt

2 C1函数的积分 1 C1函数的定义: 定义2.1 设f是定义在区间I上的实值函数.如果存在一个 C0函数 的递增序列sn ，使得： 1snf a.e.于I； 2 有限， 则称f为I上的一个C1函数，并且说sn生成f. C1函数的积分定义为: 2 定理2.1：C1函数与C0函数序列的关系 设: , 和 是两个C0函数的递增序列,满足定义 2.1中的1和2则: 证：依假设， 从而 即，同一个C1函数的不同的C0函数序列都可以 收敛到同一极限。 注：每一个C0函数都是C1函数。如果f几乎处处 等于一个C1函数g，则f也是C1函数。 同理可以得到 所以有 3 C1函数积分的基本性质 定理2.2 设f和g是区间I上的C1函数，则 1 ，且 2 对于任意常数 ， 且 3 若 于I 则 4 证明：性质1和2可由c0函数相应的性质推得。为了证明 性质3，设sn是生成f的序列，tn是生成g的序列。则在 I上几乎处处都有sn f ,和 tn g,并且 注意：性质2对这一要求是实质性的，它 说明减法运算在C1函数类中未必可行。 但是，对每一个m，有 a.e.于I，因此根据定理1.2， 再令m即得性质3 5 设区间0 ，1上的函数 为： 当 时，n=1,2,3, 当x=0,1,1/2,1/3,. 其中 是任意取定且满足 。则 是 C1函数，但 不是C1函数 思路：从基本概念出发主要考察3点： 1 序列趋近 2 有限 3 C0与C1函数的关系 例2.1 )(xf 6 证明：显然对任意的正数M，存在区间 ，使得 在此 区间内有 。因此f不是几乎处处有上界的 ，从而-f不是处处有下界的。但是，依定理2.1，C1函数 几乎处处有下界，所以-f不是 C1函数。现在证明 ，为此，作C0函数 则 f,而 右端级数收敛，故 ，并且不难算出 7 C1函数的积分等价性 定理2.4 若 则 ， 证明思路： 1 收敛、有限、序列 2 特定函数的转换 定理2.3 若 且 a.e.于I，则 C1函数的有界性 1 ),max(Cgf 8 证： 设阶梯函数序列sn生成f,tn生成g,令： 则un和vn都是阶梯函数，并且在I上几乎处处有: unmax(f,g), vnmin(f,g) 为了证明min(f,g) C1,只须证明序列 有上界。 由于 a.e.与I，故 。 而 ，故序列 亦收敛。因此 -+-+= IIII n I n I n I n gfgfvtsu),min( fv n I n v 9 定理2.5 设 ，其中I1与I2是I的子区间，I1与I2没 有公共内点。 1 若 ,且 a.e.于I,则在Ii上 ， 且 2设在 I1上 ，在 I2上 ，定义I上的函 数 f如下： C1函数的分区域积分 10 则 ，且 证明：根据定义证明。任何一个C1都可以由一个C0 函数来趋近。所以C1函数的问题可以利用C0来证明。 11 定理2.6 设 f 是有界闭区间 a,b上的有界函数，且在 a,b上几乎处处连 续，则f是 a,b 上的C1函数，并且f作为C1函数的积分就等于R积分 。 证：假定本定理所给的函数f的R可积性是已知的。 设分划 把区间a,b 分成2n个相等的子区间。 每个子区间的长度等于(b-a)/2n.分划Pn+1的子区间可由二等分Pn的 子区间而得到，令 在a,b上定义阶梯函数sn如下： 则当xa,b时，有 C1函数的积分与R积分的等价性条件 12 因为f在xk-1,xk的子区间上的下确界不会小于f在xk-1,xk的下确界 ，所以sn是递增序列。 下面证明在f连续的每个内点处有 。由于f在a,b上 不连续的点组成 之集有零测度，故 在a,b上几乎处处 成立。设f在点x连续，则任给 ，存在 ，使 得当 时，有不等式 成立。令 则 ，即 。对于这个x点，必有某个分 划PN,使得x位于PN的某个子区间xk+1,xk 之内，而 xk+1,xk 含与区 间 之内。因此 但是，对一切n有 ；对一切 又有 所以，当 时 有： 这正表明 。 ( )( ). limxfxsn= ( )( )( )e+ xsxfxs nn