圆与二次函数难度题(含答案).doc

水尾中学中考专项训练（压轴题）答案1（四川模拟）如图，RtABC内接于O，ACB90，AC2，BC1以AC为一边，在AC的右侧作等边ACD，连接BD，交O于点E，连接AE，求BD和AE的长ABDCEO解：过D作DFBC，交BC的延长线于FABDCEOFACD是等边三角形ADCDAC2，ACD60ACB90，ACF90DCF30，DF CD，CFDF3BFBCCF134BD AC2，BC1，AB BEDEBD， BD即 两边平方得：13AE 21912AE 22 整理得：9，解得AE 2（四川模拟）已知RtABC中，ACB90，B60，D为ABC外接圆O上 的中点（1）如图1，P为 的中点，求证：PAPCPD；（2）如图2，P为 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由DAPOCB图2DAPOCB图1（1）证明：连接ADD为的中点，P为 的中点PD为O的直径，PAD90DAPOCBB60，APC60D为的中点，APDCPD30PAPDcos30 PDP为 的中点，PAPCPAPCPD（2）成立理由如下：延长PA到E，使EAPC，连接DE、AD、DC则EADPAD180DAPOCBEHPCDPAD180EADPCDD为的中点，ADCDEADPCD，EDPD过D作DHPE于H由（1）知，APD30PHPDcos30 PD，PE2PHPDPAEAPE，PAPCPD3（湖北模拟）如图，AB是O的直径，PA、PC分别切O于A、C，CDAB于D，PB交CD于ECABDOPE（1）求证：CEDE；（2）若AB6，APC120，求图中阴影部分的面积（1）证明：连接OP、OC、BCPA、PC是O的切线CABDOPEPAPC，PAOPCO90又POPO，RtPAORtPCOPOAPOC，AOC2POA又AOC2ABC，POAABC又PAOCDB90，PAOCDB PABEDB90，PBAEBDPABEDB， AB2OA， CD 2ED，CEDE（2）解：APC120，PAOPCO90AOC60，DCO30AB6，OAOC3ODOCsin30 ，CDOCcos30 S阴影 S扇形AOC SDOC 4（上海模拟）如图，O的半径为6，线段AB与O相交于点C、D，AC4，BODA，OB与O相交于点E，设OAx，CDyABDCEO（1）求BD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当CEOD时，求AO的长解：（1）OCOD，OCDODC，OCAODBABDCEOBODA，OBDAOC， OCOD6，AC4， ，BD9（2）OBDAOC，AOCB又AA，ACOAOB， ABACCDBDy13， y x 2130y 8，0 x 21312，解得2 x 10定义域为2 x 10（3）OCOE，CEODCODBODAAOD180AODC180CODOCDADOADAO，y4x， x 2134xx22（舍去负值）AO225（北京模拟）如图，抛物线y x 22x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标ABCOyx备用图ABCDOyxE解：（1）y x 22x ( x m )2 mABCDOyxEF抛物线的顶点B的坐标为（ m， m）（2）令 x 22x0，解得x10，x2m抛物线y x 22x与x轴负半轴交于点AA（m，0）且m0.过点D作DFx轴于F由D为BO中点，DFBC，可得CFFO COD BC由抛物线的对称性得ACOC， AC1BCMOyxDFEO，ADFAEO， 由E（0，2），B（ m， m），得OE2，DF m ，m6抛物线的解析式为y x 22x（3）依题意，得A（6，0），B（3，3），C（3，0）可得直线OB的解析式为yx，直线BC为x3作点C关于直线BO的对称点C1（0，3），连接AC1交BO于M，则M即为所求由A（6，0），C1（0，3），可得直线AC1的解析式为y x3由 解得 点M的坐标为（2，2）AC1BCHMOPGyxQ由点P在抛物线y x 22x上，设P（t， t 22t）当AM为平行四边形的一边时如右图，过M作MGx轴于G，过P作PHBC于H则xGxM 2，xH xB 3可证AMGPQH，得PHAG4t(3)4，t1AC1BCHMOPGyxQP1（1， ）如右图，同理可得PHAG43t4，t7P2（7， ）当AM为平行四边形的对角线时如右图，过M作MHBC于H，过P作PGx轴于G则xH xB 3，xG xP tAC1BCHMOPGyxQ可证APGMQH，得AGMH1t(6)1，t5P3（5， ）综上，点P的坐标为P1（1， ），P2（7， ），P3（5， ）yBAxO6（上海模拟）已知：如图，直线yx15与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y x 2bxc经过A、B两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C，对称轴与x轴交于点H，求DAC的面积；（3）若点E是线段AD的中点，CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，POH是否能够与CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由解：（1）由题意，得A（15，0），B（0，15）抛物线y x 2bxc经过A、B两点 解得 抛物线的解析式为y x 26x15（2）y x 26x15 ( x9)212顶点D的坐标为（9，12）yBAxOP1P2OEGHC设y0，则 ( x9)2120( x9)236，x13，x215C（3，0），AC15312SDAC ACDH 121272（3）点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点点G是DAC的重心.，GH DH4若 ，则HPOCGH ，PO6P1（0，6）若 ，则PHOCGH ，PO P2（0，）POH能够与CGH相似，此时点P的坐标为P1（0，6）或P2（0，）7（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y xm（m为常数）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C以直线x1为对称轴的抛物线yax 2bxc（a，b，c为常数，且a0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程OABxyCx1解：（1）一次函数y xm的图象与x轴交于点A（3，0） ( 3 )m0，解得m 点C的坐标是（0，）抛物线yax 2bxc经过A，C两点，且对称轴为直线x1 解得 抛物线的函数表达式为y x 2 x （2）假设存在点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形（）当CEAF时，点E在x轴上方，yE yC 由 x 2 x ，解得x10（舍去），x22OABxyCx1F1E1E2F2HE1（2，），此时SACE1F12 （）当AECF时，点E在x轴下方，yE yC 由 x 2 x ，解得x11 ，x21 （舍去）E2（1 ， ）过E2作E2Hx轴于H，则E2HF2COAHF2AO3，AF27 SACF2E22SACF2AF2CO 综上所述，存在符合条件的点E1（2，），E2（1 ， ），使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，相应的面积分别是 ，（3）方法一：A，B两点关于抛物线的对称轴x1对称APCPBPCP BCOABxyCx1M1N1M2N2当C、P、B三点在一条直线上时，ACP的周长取得最小值此时点P的坐标为（1，3）分别过点M1，M2作直线x1的垂线，垂足为N1，N2在RtM1PN1中，由勾股定理得M1P 2M1N12PN12( x11 )2( y13 )2 y1 x12 x1 ( x11 )24即( x11 )24( 4y1 )，将其代入，得M1P 2( 5y1 )2M1P5y1 （y15）同理M2P5y2 由M1N1M2N2，得M1PN1M2PN2 ，即 整理得y1y24( y1 y2 )15 1故 是定值，其值为1方法二：同方法一得点P的坐标为（1，3）设过点P的直线表达式为ykx3k联立 消去y，整理得x 2( 4k2 )x( 4k3 )0x1x224k，x1x2( 4k3 )由y1kx13k，y2kx23k，得y1y2k( x1x2 )M1P 2M2P 2( x11 )2( y13 )2( x21 )2( y23 )2( x11 )2k 2( x11 )2( x21 )2k 2( x21 )2( k 21 )2( x11 )2( x21 )2( k 21 )2( x1x2x1x21 )216( k 21 )2M1M22( x1x2 )2( y1y2 )2( k 21 )( x1x2 )2( k 21 )( x1x2 )24x1x216( k 21 )2M1P 2M2P 2M1M22，即M1PM2PM1M2故 是定值，其值为18（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P（1）若点P的坐标为（1，4），求此时抛物线的解析式；（2）若点P的坐标为（1，k），k 0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QBQP取得最小值5；（3）试求满足（2）时动点Q的坐标解：（1）由题意，设抛物线的解析式为ya( x1 )24将A（1，0）代入上式，得a1ByQAPOxx1P抛物线的解析式为y( x1 )24（2）作点P（1，k）关于y轴的对称点P（1，k）QPQP抛物线顶点为P（1，k），抛物线的对称轴为x1抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，B（3，0）若QBQP最小，即QBQP 最小则B、Q、P 三点共线，即PB5又AB134，连接PA，则PAABPAB是直角三角形，PA 3k3（3）由（2）知，BOQBAP ，即 ，OQ 动点Q的坐标为（0， ）10（四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）分别是方程x 22x30的两根（1）求抛物线的解析式；OExyABDPC（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标解：（1）解方程x 22x30，得x11，x23m n，m1，n3A（1，1），B（3，3）抛物线过原点，设抛物线的解析式为yax 2bx 解得a ，b 抛物线的解析式为y x 2 x（2）设直线AB的解析式为ykxb 解得k ，b 直线AB的解析式为y x C点坐标为（0， ）直线OB过点O（0，0），B（3，3）直线OB的解析式为yxOPC为等腰三角形，OCOP或OPPC或OCPC设P（x，x）（i）当OCOP时，x 2(x )2 OExyABDPCQGH解得x1 ，x2 （舍去），P1（ ， ）（ii）当OPPC时，点P在线段OC的中垂线上，P2（ ， ）（iii）当OCPC时，x 2(x )2 解得x1 ，x20（舍去），P3（ ， ）P点坐标为P1（ ， ）或P2（ ， ）或P3（ ， ）过点D作DGx轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BHx轴，垂足为H设Q（x，x），则D（x， x 2 x）DQ x 2 xx x 2 xSBOD SODQ SBDQ DQOG DQGH DQ( OGGH ) ( x 2 x )3 ( x )2 0x 3当x 时，S取得最大值为 ，此时D（ ， ）11（四川模拟）如图，抛物线yax 2bxc与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D已知A（2，0），tanABC ，SABC 9（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一点，且以B、D、P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，请你选择一个P点求出BDP外接圆圆心的坐标yOAxCDB备用图yOAxCDB解：（1）由题意得： 解得：（舍去负值）B（4，0），C（0，3）设抛物线为ya( x2 )( x4 )，把C（0，3）代入，得3a( 02 )( 04 )，解得：a 抛物线的解析式为y ( x2 )( x4 )即y x 2 x3（2）存在y x 2 x3 ( x1 )2 抛物线的对称轴是直线x1D（1，0），OD1OA2，OB4，OC3，AB6，BC5，BD3当BDPBAC时，则BDPBACDPACD为AB中点，P为CB中点B（4，0），C（0，3），P1（2，）yOP1AxCDBP2当BPDBAC时，则 ，BP 过点P作PHOB于H，则BPHBCO ， BH ，PH ，P2（，）满足条件的P点有两个，P1（2，），P2（，）yOAxCDBPE（3）选择P（2，），设E为BDP外接圆的圆心则点E是线段BD的中垂线和线段BP的中垂线的交点易知线段BD的中垂线为x ，设点E坐标为（ ，m）由EDEP，得( 1)2m 2( 2)2(m )2解得m ，即E（ ，）当点P坐标为（2，）时，BDP外接圆圆心的坐标为（ ，）12（四川模拟）已知圆A的半径为 ，圆心A（t，0）是抛物线y x 2bx与x轴的交点，点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q是线段OP的中点（1）如图1，当t4时，点P在抛物线上运动，点Q跟随点P运动，其运动路径也是一段抛物线，直接写出点Q运动路径的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如图2，当POA45 且t 0时，过点Q作OP的垂线l，证明直线l与A相切；AOPQxy图1AOPQxy图2l（3）当POA45 时，使得直线l与A相切于点M，且四边形PAMQ为矩形此时，在抛物线上是否存在点B，使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）yx 22x（0x 2）提示：当t4时，A（4，0），代入y x 2bx，得b2抛物线为y x 22xAOPQxy图1设P（m， m 22m），则Q（ m， m 2m）设Q（x，y），则x m，y m 2mm2x，y ( 2x )22xx 22x0m 4，0x 2点Q运动路径的函数解析式为yx 22x（0x 2）（2）y x 2bx，A（2b，0）POA45，直线OP的解析式为yxAOPQxy图2lDM联立 解得 （舍去）P（2b2，2b2）设l与x轴交于点D，连接PD由题意，l是线段OP的垂直平分线ODPD，OPDPOD45ODP90，OPD是等腰直角三角形ODQ45，OD2b2AD2b( 2b2 )2过点A作AMl于M，则ADM45ADM是等腰直角三角形AM ADA的半径