[司法考试]高等数学讲义二.doc

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来!2014年山东省专升本高等数学备考讲义（二）高等数学拓展延伸时间：2013年8月30日 讲义制作：曲天尧温馨提示：鉴于山东省专升本考试高等数学专业课历年都会出现超纲的内容，所以在专升本考试前夕编写了这一份拓展延伸的复习讲义，不要求考生在短时间内可以完全掌握，只是大概了解一下即可. 当然，每位考生的情况是不同的，在复习阶段只需要量力而行，基础好的同学可以深入探索延伸，基础不是很好的同学这部分内容将不作为掌握的重点.拓展一：定积分的应用求旋转体的体积：结论：1. 由曲线，直线x=a，x=b（ab）及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周后得到旋转体W，如图所示. 其所成旋转体的体积为.2. 由曲线，直线y=c，y=d（cd）及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周后得到旋转体M，如图所示. 其所成旋转体的体积为.例题1. 已知与所围部分. 求： （1）绕轴旋转所得图形的体积； （2）绕轴旋转所得图形的体积.解：图1例题2. (2011年会计学专业真题)设S1是由抛物线y=4x2与直线x=a，x=1，y=0所围成的平面图形，S2是由抛物线y=4x2与直线x=a，y=0所围成的平面图形(0a1). 设S1、S2分别绕x轴、y轴旋转面得到的旋转体的体积为V1、V2，则V1+V2最大时a的值为( )A. 1 B. 1/3 C. 1/4 D.1/2答案：D拓展二：三角有理函数的积分万能代换公式：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.一般记为 R(sin x , cos x) ，则万能代换公式：则：注意：三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 通常含有sin2x、cos2x及sinxcosx的有理式的积分时，用代换u=tanx往往更方便.例题3. 求不定积分解：则原式=拓展三：求幂级数的和函数：幂级数的和函数s(x)的性质：性质1：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R)连续. 性质2：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式 (xI ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3：幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式 (|x|R), 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例题4. 求幂级数的和函数.解：求得幂级数的收敛域为-1, 1). 设和函数为s(x), 即, x-1, 1). 显然s(0)=1. 在的两边求导得 . 对上式从0到x积分, 得 . 于是, 当x 0时, 有. 从而. 因为, 所以, 当x0时, 有, 从而 . 拓展四：求解二阶常系数非齐次线性常微分方程：1. 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：，其中为常数，若特解为，对应的齐次微分方程的通解为，则原方程的通解为.2. 求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：设，其中是次多项式，设特解，其中也是次多项式，当不是的单特征根时，；当是的重特征根时，再设，将代入微分方程，两端比较同次幂系数，就可求出符定系数.设其特解为其中，而按 （或）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1.3. 归纳总结：对于非齐次方程其中，表示次多项式. 其特解形式设定如下：（1）识别；（2）计算，和特征根相等个数，。（3）特解可设为，其中为次多项式.注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成.例题5. 求解微分方程.解：（1），齐次通解（2），又设，代入原方程得，.故通解例题6. 求解微分方程.解：（1），（2），可设计算得： 代入原方程得，故通解.例题7. 求解微分方程.解：（1），（2）的特解，。又设代入原方程得解得；（3）的特解 可设，代入得，D，. 综合得通解.拓展五：多元函数微分学在几何中的应用：归纳总结：1. 空间曲线切线与法平面：1）切向量切线方程：法平面方程：2）类似的切线方程：法平面方程：3）2. 空间曲面切平面与法线：1）切平面：法线：2）类似地切平面：法线：3）*（参数方程形式）切线 3. 方向导数：（梯度在方向投影）4. 梯度、散度、旋度：设梯度：散度：旋度：例题8. (2012年会计学专业真题)已知曲面z=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是（ ）A. (1,-1,2) B. (-1,1,2) C. (1,1,2) D. (-1,-1,-2)答案：C例题9. 求曲线上与平面平行的切线方程.解：由题意得：切向量， 由，则，即，当时，切线方程为当时，切线方程为.例题10. 求曲面的切平面，使之与平面垂直，同时也与垂直. 解：切平面法向量，依题意有：既有（1）（2）联立（1）（2）和原方程得解，切平面即得 即拓展六：曲线积分与曲面积分：一、曲线积分：（一）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）1. 定义： 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界. 将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长; 在每一弧段Dsi上任取一点(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn, 如果当l0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.2. 曲线积分的存在性： 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的.3. 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数, 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 ; 性质3设在L上f(x, y)g(x, y), 则 . 特别地, 有 4. 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的计算：定理：设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一阶连续导数, 且j2(t)+y2(t)0, 则曲线积分存在, 且 (ab). 应注意的问题：定积分的下限a一定要小于上限b. 结论：(1)若曲线L的方程为y=y(x)(axb), 则 . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(cyd), 则 . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 则.例题11. 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.解：曲线的方程为y=x2 (0x1), 因此 .例题12. 计算，其中为从（0,0）到（2,0）的上半圆弧：.解：.（二）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）1. 定义： 设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界. 把L分成n个有向小弧段L1, L2, , Ln; 小弧段Li的起点为(xi-1, yi-1), 终点为(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)为Li上任意一点, l为各小弧段长度的最大值. 如果极限总存在, 则称此极限为函数 f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即, 如果极限总存在, 则称此极限为函数 f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即. 设L为xOy面上一条光滑有向曲线, cost, sint是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义 , , 前者称为函数P(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.2. 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）的简写形式: ; . 3. 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）的性质: (1) 如果把L分成L1和L2, 则 . (2) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则 . 4. 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）的计算：定理1：设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线L: x=j(t), y=y(t), 上的连续函数, 当参数t单调地由a变到b时, 点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B, 则 , . 且. 定理2：若P(x, y)是定义在光滑有向曲线 L: x=j(t), y=y(t)(atb)上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致, 则 . 应注意的问题: 下限a对应于L的起点, 上限b 对应于L的终点, a不一定小于b . 推广：若空间曲线G由参数方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)给出，那么曲线积分 , 其中a对应于G的起点, b对应于G的终点. 例题13. 计算, 其中L为抛物线y2=x上从点A(1, -1)到点B(1, 1)的一段弧.解法一：以x为参数. L分为AO和OB两部分: AO的方程为, x从1变到0; OB 的方程为, x从0变到1. 因此 . 解法二：以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1. 因此 . 例题14. 计算, 其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段.解： 直线AB的参数方程为 x=3t, y=2t, x=t, t从1变到0. 所以所以 .5. 两类曲线积分之间的联系：由定义，得 , 其中F=P, Q, T=cost, sint为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds=dx, dy. 类似地有 . 其中F=P, Q, R, T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds =dx, dy, dz . （三）格林公式：1. 单连通与复连通区域： 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.2. 对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边. 3. 格林定理：设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有 , 其中L是D的取正向的边界曲线.4. 应用格林公式必须注意：（1）格林公式的条件是：封闭、正向、偏导数连续，三者缺一不可. 若曲线积分C不封闭则添加辅助线使之封闭；若C是顺时针方向，则改为逆时针方向；应用格林公式时先要检查的连续性；（2），；（3）用公式计算二重积分时不能将曲线C的方程代入被积函数.例题15. 利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.解：所围区域：,由格林公式，可得= =.例题16. (2012年会计学专业真题)利用格林公式计算曲线积分L(2x+1-eysinx)dy-eycosxdx，其中L是半圆x=（1-y2）1/2由A（0,-1）到B（0,1）的一段弧.解：令封闭曲线L2=L+L1，其中L1是起点为B，终点为A的y轴的一部分.由格林公式，得：L2(2x+1-eysinx)dy+(-eycosx)dx=D(2x+1-eysinx)/ x-(-eycosx)/ydxdy=D2dxdy=（其中D为封闭曲线L2所围）.而L2(2x+1-eysinx)dy+(-eycosx)dx=L(2x+1-eysinx)dy+(-eycosx)dx+L1(2x+1-eysinx)dy+(-eycosx)dx，其中L1(2x+1-eysinx)dy+(-eycosx)dx=-2.所以有L(2x+1-eysinx)dy+(-eycosx)dx=-(-2)=+2.5. 平面上曲线积分与路径无关的条件：定理：设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 在G内恒成立.应注意的问题：定理要求, 区域G是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.例题17. 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧.解：因为在整个xOy面内都成立, 所以在整个xOy面内, 积分与路径无关. .例题18. 证明曲线积分在整个xOy面内与路径无关, 并计算积分值.解：P=x+y, Q=x-y, 显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 而且 , 故在整个xOy面内, 积分与路径无关. 取L为点(1, 1)到(2, 3)的直线y=2x-1, x从1变到2, 则 .(四)第一型曲面积分（对面积的曲面积分）1. 定义：设曲面S是光滑的, 函数f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小块: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面积), 在DSi上任取一点(xi, hi, zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值l0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面.2. 第一型曲面积分（对面积的曲面积分）的存在性: 我们指出当f(x, y, z)在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的.3. 第一型曲面积分（对面积的曲面积分）的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则 ; (2)若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则 ; (3)设在曲面S上f(x, y, z)g(x, y, z), 则 ; (4), 其中A为曲面S的面积.4. 第一型曲面积分（对面积的曲面积分）的计算：定理：设曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续偏导数, 被积函数f(x, y, z)在S上连续, 则 . 如果积分曲面S的方程为y=y(z, x), Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 . 如果积分曲面S的方程为x=x(y, z), Dyz为S在yOz面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 .说明：若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. 例题19. 计算积分，其中是上半球面.解：=例题20. 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0h0, 在曲面的下侧cosg0, 在曲面的左侧cosb0, 在曲面的后侧cosa0. 设S是有向曲面. 在S上取一小块曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(Ds)xy.假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g的余弦cosg有相同的符号(即cosg都是正的或都是负的). 我们规定DS在xOy面上的投影(DS)xy为 , 其中cosg0也就是(Ds)xy=0的情形. 类似地可以定义DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 2. 流向曲面一侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)给出, S是速度场中的一片有向曲面, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上连续, 求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量, 即流量F. 如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v, 又设n为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体. 当(v,n)时, 这斜柱体的体积为 A|v|cosq=A vn. 当(v,n)时, 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量F为零, 而Avn=0, 故F=Avn; 当(v,n)时, Avn0, 这时我们仍把Avn称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量, 它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧, 且流向-n所指一侧的流量为-Avn. 因此, 不论(v,n)为何值, 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Avn . 把曲面S分成n小块: DS1, DS2, , DSn(DSi同时也代表第i小块曲面的面积). 在S是光滑的和v是连续的前提下, 只要DSi的直径很小, 我们就可以用DSi上任一点(xi, hi, zi )处的流速 vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各点处的流速, 以该点(xi, hi, zi )处曲面S的单位法向量 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k代替DSi上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过DSi流向指定侧的流量的近似值为 viniDS i (i=1, 2, ,n) 于是, 通过S流向指定侧的流量 , 但 cosaiDSi(DSi)yz , cosbiDSi(DSi)zx , cosgiDSi(DSi)xy ,因此上式可以写成 ; 令l0取上述和的极限, 就得到流量F的精确值.3. 定义1：设S为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n块小曲面DSi(DSi同时也代表第i小块曲面的面积). 在xOy面上的投影为(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值l0时, 总存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面S上对坐标x、y的曲面积分:, 记作,即 . 类似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面. 定义2： 设S是空间内一个光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的单位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)是确在S上的向量场. 如果下列各式右端的积分存在, 我们定义 , , . 并称为P在曲面S上对坐标y、z的曲面积分, 为Q在曲面S上对坐标z、x的曲面积分, 为R在曲面S上对坐标y、z的曲面积分. 其中P、Q、R叫做被积函数, S叫做积分曲面. 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.4. 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）的简记形式： 在应用上出现较多的是 . 流向S指定侧的流量F可表示为 F. 5. 特殊形式：称为P对坐标y，z的曲面积分；称为Q对坐标z，x的曲面积分；称为R对坐标x，y的曲面积分.6. 一个规定： 如果是分片光滑的有向曲面, 我们规定函数在S上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和. 7. 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）的性质： 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质. 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 则 . (2)设S是有向曲面, -S表示与S取相反侧的有向曲面, 则 . 这是因为如果n=(cosa , cosb , cosg)是S的单位法向量, 则-S上的单位法向量是 -n =(- cosa , -cosb , -cosg). 8. 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）的计算：定理： 设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续, 则有, 其中当S取上侧时, 积分前取“+”；当S取下侧时, 积分前取“-”. 即上侧取正，下侧取负.若曲面为：，则有 （前侧取正，后侧取负）若曲面为：，则有 （右侧取正，左侧取负）应注意的问题：应注意符号的确定.例题21. 计算曲面积分 , 其中S是长方体W的整个表面的外侧, W=(x, y, z) |0xa, 0yb, 0zc ).解：把W的上下面分别记为S1和S2; 前后面分别记为S3和S4; 左右面分别记为S5和S6. S1: z=c (0xa, 0yb)的上侧; S2: z=0 (0xa, 0yb)的下侧; S3: x=a (0yb, 0zc)的前侧; S4: x=0 (0yb, 0zc)的后侧; S5: y=0 (0xa, 0zc)的左侧. S6: y=b (0xa, 0zc)的右侧; 除S3、S4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零, 因此 =a2bc . 类似地可得 , . 于是所求曲面积分为(a+b+c)abc. 例题22. 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外侧在x0, y0的部分.解：把有向曲面S分成以下两部分: : (x0, y0)的上侧, : (x0, y0)的下侧. S1和S2在xOy面上的投影区域都是Dxy : x2+y21(x0, y0). 于是 . 9. 两类曲面积分之间的联系：设指向侧的单位法向量，则有即向量值函数在有向上的第二型曲面积分等于数量值函数在上的第一型曲面积分.（六）高斯公式与斯托克斯公式：定理1（高斯公式）：设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数, 则有 , 或 .定理2（斯托克斯公式）：设G为分段光滑的空间有向闭曲线, S是以G为边界的分片光滑的有向曲面， G的正向与S 的侧符合右手规则, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S（连同边界）上具有一阶连续偏导数, 则有 . 记忆方式: ,或 , 其中n=(cosa , cosb , cosg)为有向曲面S的单位法向量.延伸一：概率论与数理统计（部分）：说明：概率论与数理统计是经济管理类（会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务）专业在大学本科期间必修的三门经济数学之一，由于内容太多，因此在这里只列出部分较为简单的，容易命题的考点.一、概率的性质：性质1 任何事件的概率的范围均是0,1.性质2 不可能事件的概率为零. （反之不然）性质3 (有限可加性) 若A1，A2，, An 两两互不相容,则 推论1 若事件A, B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);推论2 若A1，A2，,An 构成完备事件组,则 性质4 原事件与其对立事件的和恒为1.性质5 若, 则 P(A-B)=P(A)-P(B) , 且P(A)P(B).性质6（加法公式）对任意事件A、B ，有P(AB) = P (A+B)=P(A)P(B)-P(AB).推广：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)性质7（减法公式）对任意两个事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)例题23. 设A, B为两个随机事件，P(A)=0.5,P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B).解：因为 P(AB)= P(A)+P(B) - P(AB)，即 0.8=0.5+P(B)-0.3，所以，P(B)=0.6.例题24. 设为事件，且则（ ）A. 0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8答案：A二、排列组合与两个基本原理：1. 排列数公式 =.(，N*，且)注：规定.2. 排列恒等式 (1);(2);(3); (4);(5).(6) .3. 组合数公式 =(N*，且).4. 组合数的两个性质(1)= ;(2) +=.注:规定.5. 组合恒等式(1);(2);(3); (4)=;(5).(6).(7).(8).(9).(10).6. 分类计数原理（加法原理）.7. 分步计数原理（乘法原理）.例题25. 现有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球.（1）若把小球全部放入盒子，共有 种放法；（2）恰有一个空盒，则有 种放法；（3）恰有两个盒子内不放球，则有 种放法.答案：（1）256；（2）144；（3）84三、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率：解此类题目常应用以下知识:1. 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)等可能事件概率的计算步骤：（1）计算一次试验的基本事件总数;（2）设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;（3）依公式求值;（4）答，即给问题一个明确的答复.2. 互斥事件有一个发生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)P()P(A)1.3. 相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k).其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式(1-P)+Pn展开的第k+1项.4. 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例题26. 某产品共15个,其中2个次品,每次取1个检验，取后不放回，问恰好两次取到的都是次品的概率是 .答案：例题27. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ ）A. B. C. D. 答案：C例题28. (2013年经济管理类各专业真题)同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现三个正面的概率为_ .答案：Ox j (x)m四、正态分布的相关考点：1. 正态分布的密度函数其特性为：(1) j (x) 图形关于直线 x = m 对称.(2) j (x)在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线.(3) 在 x = m 处， j (x)取得最大值.(4) 参数 m 决定曲线 j (x)的位置，参数 s 决定曲线j (x)的形状.固定 s 而改变 m 值，则曲线沿着x 轴左右平移但形状不变；固定 m 而改变 s 值，则曲线形状改变而位置不 变. s 值越大时曲线越扁平，s 值越小曲线越尖窄.2. 标准正态分布密度函数：参数 m = 0,s =1的正态分布称为标准正态分布其密度函数为：记为X N(0, 1).j(x)的性质(1) j(x) 是偶函数，即有 j(-x) = j(x). (2) j(x) 在（-，0）内单增，在（0，+）内递减. 在x=0处j (x) 取最大值 (3) j (x)在x=1，-1点取得拐点，且以x轴为水平渐近线.3. 重要公式：设XN(0,1)，则(1) j(-x)= j(x)(2) F(- x) = 1- F(x) ; F(0) = 0.5(3) P ( |X| x) = 2F(x)- 1 (4) P (aXb) = F(b) - F(a)4. 一般正态分布与标准正态分布的关系：设X N(m , s 2 ), 分布函数为F(x), 则例题29. 设随机变量服从正态分布N(0,1)，P(1)=p，则P(-11)=（ ）A. 1-2 p B. 1- p C. p D. - p答案：A五、数理统计的基本概念：1. 统计量的定义：设(X1, X2, , Xn)为来自总体 X 的容量为n 的样本,h(x1, x2, , xn)为不含未知参数的n 元实值函数，则 T = h(X1, X2, , Xn) 是一个随机变量，称为统计量.2. 常用统计量：设样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X，常用统计量： 样本均值: 修正样本方差： 修正样本标准差 : 样本k阶原点矩：样本k阶中心矩：3. 样本均值和方差的性质：定理：设总体 X 的均值为 EX=m，方差为 DX=s 2，样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X ，则（1）； （2）； （3）； （4）其中，为二阶中心矩.4. 抽样分布：（1）c2 分布：设随机变量X1,X2,Xn相互独立，且同服从N( 0, 1 )，则c2 = X12+X22+ +Xn2 c2(n). （2）t 分布：（3）F 分布：则5. 正态总体下的抽样分布：假设样本（X1 , X2 ， ，X n ）来自正态总体 XN(m, s2) （1）设(X1 , X2 ， ，X n )取自 XN(m , s 2)，则（2）设样本(X1, X2, , Xn)取自总体X N(m ,s 2)，则例题30. 设总体x1,x2,，xn为来自总体X的样本，为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( )A.B. C.D.答案：C延伸二：线性代数（部分）：说明：线性代数同样也是经济管理类（会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务）专业在大学本科期间必修的三门经济数学之一，由于内容太多，因此在这里只列出部分较为简单的，容易命题的考点.一、行列式的计算：行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明.1. 利用行列式定义直接计算2. 利用行列式的性质计算3. 化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式.例题31. 计算行列式.解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算4. 降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例题32. 计算行列式 .解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.5. 递（逆）推公式法6. 利用范德蒙行列式7. 加边法（升阶法）8. 数学归纳法9. 拆项法总结：计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。二、矩阵及其运算：1. 矩阵的定义：由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示2. 矩阵的运算：（1）矩阵的同型与相等设有矩阵，若，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.（2）矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定 注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.（3）数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.（4）乘法运算设，则规定其中 由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：不满足交换律，即在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.（5）方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵（6）矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.（7）方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则； ； 例题33. 设矩阵A=，B=，则AB=_.答案：三、向量组及其线性相关性：1. n维向量的定义与向量的线性运算：由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即矩阵. 与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2. 向量的线性组合：设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3. 线性相关性概念：设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别 单个向量线性相关； 单个向量线性无关4. 向量组线性相关性的几种判定方法：（1）定义法：设向量组, , (n 1) ，若数域 F 中存在不全为零的数,使得+ += 0 ，则称向量组, , 线性相关，否则，则称向量组, , 线性无关.例题34：设 =+, = +, =+, =+, 证明向量组,线性相关. 证明：设存在四个数,使得+ = 0 ，将 = +, =，=+,=+,代入上式整理得 (+)+(+)+(+)+(+) = 0，则 令 = =1 ， =