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文档简介

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八章 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当时, 显然成立 ; 例1. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 4. 数量积的坐标表示 设则 当为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 例2. 已知三点 AMB . 解: 则 求 故 为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平 面域 ,与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积 的夹角为且 为单位向量 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S 2. 性质 为非零向量, 则 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 4. 向量积的坐标表示式 设则 向量积的行列式计算法 例4. 已知三点 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 一点 M 的线速度 例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其 在 l 上任取一点 O,作 它与 则 点 M离开转轴的距离 且符合右手法则 的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 思考与练习 1. 设 计算并求 夹角 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: 证: 由三角形面积公式 所以 因 1. 已知向量的夹角 且 解： 在顶点
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