高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课后提升训练.docx

方程的根与函数的零点(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017烟台高一检测)函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令log5(x-1)=0,得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2.2.(2017开封高一检测)二次函数y=x2-kx-1(kR)的图象与x轴交点的个数是()A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.二次函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)=0的实根个数有关,由于=b2-4ac=(-k)2-41(-1)=k2+4,无论k为何实数,0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.3.(2017聊城高一检测)函数f(x)=ax2+2ax+c(a0)的一个零点是-3,则它的另一个零点是()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选B.设另一个零点是x,由根与系数的关系得-3+x=-=-2,所以x=1.即另一个零点是1.4.(2017吉安高一检测)已知函数f(x)=13x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0x1x0,则f(x1)()A.恒为负值B.等于0C.恒为正值D.不大于0【解析】选C.由实数x0是方程f(x)=0的解,得=log2x0,分别作出函数y=,y=log2x的图象,由图象可知,当0x1log2x1,所以f(x1)=-log2x10.【一题多解】因为函数y=是单调减函数,y=log2x在(0,+)上是增函数,所以根据函数单调性的性质可知,函数f(x)=-log2x在(0,+)上是减函数.因为0x1f(x0)=0.5.(2017黄冈高一检测)若函数f(x)在定义域x|xR,且x0上是偶函数,且在(0,+)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断【解析】选B.因为f(x)在(0,+)上是减函数,且f(2)=0,所以在(0,+)上有且仅有一个零点2,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-,0)上有且仅有一个零点-2,所以函数f(x)的零点有两个.6.(2017郑州高一检测)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.由2a=3,3b=2,得a=log23,b=log32,ab=1,f(-1)=a-1-1-b=-10.所以零点所在区间是(-1,0).7.函数g(x)=x2+a存在零点,则a的取值范围是()A.a0B.a0C.a0D.a0【解析】选B.函数g(x)=x2+a存在零点,则x2=-a有解,所以a0.【延伸探究】若本题中条件“存在零点”换为“有两个零点”,其结论又如何呢?【解析】选D.函数g(x)=x2+a有两个零点,则x2=-a有两个实数解,所以a0,故选D.【补偿训练】函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,1C.(1,+)D.1,+)【解析】选D.在平面直角坐标系中作出函数y=|x|-1和y=ax的图象如图,结合图象可以看出:当a1时,两函数的图象只有一个交点,且交点横坐标小于0,即函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点.故应选D.8.已知函数f(x)=x-x-1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,x3,则()A.x2x1x3B.x2x3x1C.x3x1x2D.x1x21,g(x)=x+2x=02x=-x,根据两个函数图象的交点可知x20,h(x)=x+lnx=0lnx=-x,根据两个函数图象的交点可知0x31,所以x2x3x1.【一题多解】选B.三个函数图象y=-1,y=2x,y=lnx与y=-x的交点横坐标比较大小,这样画在同一坐标系下也清楚交点的大小.由图可知x2x3x1.【补偿训练】(2017德州高一检测)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点【解析】选C.因为f(0)f(1)0,f(x)在(1,2)内也可能有零点,如图,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017嘉兴高一检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为_.【解析】当x1时,令2x-1=0,得x=0.当x1时,令1+log2x=0,得x=,此时无解.综上所述,函数零点为0.答案:010.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为_.【解析】易知函数f(x)=x2+x+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=-.若函数f(x)在区间(0,1)上有零点,则只需满足f(0)f(1)0,即a(a+2)0,解得-2a0.答案:-2a0【补偿训练】已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=f(x).若f(x)有2015个零点,则这2015个零点之和为_.【解析】设x0为其中一根,即f(x0)=0,因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(-x0)=f(x0)=0,即-x0也为方程一根,又因为方程f(x)=0有2015个实数解,所以其中必有一根x1,满足x1=-x1,即x1=0,所以这2015个零点之和为0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)11.判断函数f(x)=lnx-1x在区间1,3内是否存在零点.【解析】因为函数f(x)=lnx-的图象在1,3上是连续不断的一条曲线,且f(1)=-10,从而由零点存在性定理知,函数在1,3内存在零点.12.(2017大同高一检测)已知函数f(x)=2a4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=24x-2x-1.令f(x)=0,即2(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-(舍去),所以x=0,所以函数f(x)的零点为0.(2)若f(x)有零点,则方程2a4x-2x-1=0有解.于是2a=+=-,因为0,所以2a-=0,即a0.【补偿训练】已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的范围.【解题指南】第(2)问将函数的零点转化为函数图象与x轴交点的横坐标,利用图象找出关于b的不等式,然后解不等式即可.【解析】(1)因为f(0)=f(4),所以3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1