高中数学第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性学案含解析北师大版.docx

3.1.1导数与函数的单调性1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.(重点、难点)3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)基础初探教材整理导数与函数单调性的关系阅读教材P57P58“例1”以上部分，完成下列问题.一般地，在区间(a，b)内导数函数的单调性f(x)0单调增加f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增.()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.()【答案】(1)(2)(3)2.函数yf(x)的图像如图311所示，则导函数yf(x)的图像可能是()图311 A B C D【解析】函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0.其中正确的序号是()A.B.C.D.(2)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图313所示，则导函数yf(x)的图像可能为()图313AB CD【精彩点拨】研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【自主解答】(1)由图像可知，函数的定义域为1，5，值域为(，02，4，故正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.【答案】(1)A(2)D1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可.2.通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负.再练一题1.(1)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图像可能是()ABCD【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合.(2)因为yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.【答案】(1)D(2)A利用导数求函数的单调区间求函数f(x)x(a0)的单调区间. 【精彩点拨】求出导数f(x)，分a0和a0求得单调增区间，由f(x)0时，令f(x)10，解得x或x；令f(x)10，解得x0或0x；当a0恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，0)和(0，).当a0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0，可得x1.即函数f(x)exex，xR的单调增区间为(1，)，选D.(2)函数的定义域为(0，)，又f(x)1，由f(x)10，得0x1，所以函数f(x)ln xx的单调递增区间是(0，1)，选B.【答案】(1)D(2)B探究共研型已知函数单调性求参数的取值范围探究1函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)的单调性如何？【提示】求函数的导函数f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0的4(a23b)0恒成立，故f(x)是增函数.探究2若函数f(x)x在(1，)上是增函数，试求实数p的取值范围.【提示】f(x)10在(1，)上恒成立，即x2p在(1，)上恒成立，1p，p1.已知关于x的函数yx3axb.(1)若函数y在(1，)内是增函数，求a的取值范围；(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，)，求a的值.【精彩点拨】(1)函数在区间(1，)内是增函数，则必有y0在(1，)上恒成立，由此即可求出a的取值范围.(2)函数y的一个单调递增区间为(1，)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值.【自主解答】y3x2a.(1)若函数yx3axb在(1，)内是增函数.则y3x2a0在x(1，)时恒成立，即a3x2在x(1，)时恒成立，则a(3x2)min.因为x1，所以3x23.所以a3，即a的取值范围是(，3.(2)令y0，得x2.若a0，则x2恒成立，即y0恒成立，此时，函数yx3axb在R上是增函数，与题意不符.若a0，令y0，得x或x.因为(1，)是函数的一个单调递增区间，所以1，即a3.1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2.已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立.再练一题3.将上例(1)改为“若函数y在(1，)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y3x2a，当a0，函数在(1，)上单调递增，不符合题意.当a0时，函数y在(1，)上不单调，即y3x2a0在区间(1，)上有根.由3x2a0可得x或x(舍去).依题意，有1，a3，所以a的取值范围是(3，).构建体系1.命题甲：对任意x(a，b)，有f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】f(x)x3在(1，1)内是单调递增的，但f(x)3x20(1x1)，故甲是乙的充分不必要条件.【答案】A2.已知函数f(x)ln x，则有()A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)f(2)【解析】因为在定义域(0，)上f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3).故选A.【答案】A3.函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_.【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.【答案】(1，2)4.已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_. 【解析】f(x)，由题意得f(x)0在(2，)内恒成立，解不等式得a，但当a时，f(x)0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.【答案】5.已知函数f(x)x3ax1.(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(1，1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围.【解】f(x)3x2a.