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经济学类各专业核心课程 计量经济学 1 第二章第二章 统计学基础知识统计学基础知识 第一节 常用的统计量平均数、方差 第二节 常用的概率分布 2 第一节 常用的统计量平均数、方差 一、算术平均 算术平均（arithmetic mean）就是我们日 常生活中使用的普通的平均数，其定义如 下式： 3 二、加权算术平均 n加权平均（weighted arithmetic mean）是 将各数据先乘以反映其重要性的权数（w） ，再求平均的方法。其定义如下式： 4 三、变化率 n变化率的定义如下式： 5 四、几何平均 几何平均（geometric mean）是n个数 据连乘积的n次方根，其定义如下式： 6 五、移动平均 n所谓移动平均（moving average），就是对时间序 列数据的前后数据求平均，将不必要的变动（ 循环 变动、季节变动和不规则变动）平滑（smoothing） ，也即剔除这些变动，从而发现长期变化方向的一种 方法。每隔3个月的季度数据（quarterly data）、 每个月的月度数据（moonthly data）中存在着季度 和月份中固有变化的影响，利用移动平均可以消除这 些季节变动，有助于理解长期变化趋势。同样，循环 变动和不规则变动也可以通过移动平均来消除，计算 平滑的长期变动。 7 n通常，移动平均大多用简单的奇数项来计算， 下面是3项移动平均和5项移动平均的定义。 n3项移动平均： 8 5项移动平均： 9 六、方差与标准差 n为了了解数据的结构，有必要考察数据 的集中趋势和分散的程度。对于集中的趋势 ，我们从前面学习过的算术平均中已经大体 有所了解，而对于分散的程度，通过对方差 （variance）与标准差（standard deviation），以及下一节将要介绍的变动系 数的计算，能够得到很多信息。 10 n方差的计算方法是，先将每个数据与算 术平均数之差（即离差）的平方相加求和 ，再除于样本数减一。而标准差是方差的 正的平方跟。由于方差是通过平方计算的 ，它与原数据的次数有所不同，而标准差 由于是方差的平方跟，因而又与原数据的 次数相同。因此，标准差与原数据的单位 相同，而方差则不附加单位。 n 11 样本方差S2的定义分别如下式： 12 标准差S的的定义分别如下式： 13 七、变动系数 n变动系数（coefficient of variation）又称 变异系数，它用标准差S除于算术平均数的 商来表示。变动系数CV的定义如下式： n 14 八、标准化变量 n标准差变量（standardized variable）,又称 基准化变量，它是用来测量某个数据的数值与 算术平均数的偏离程度，是标准差s的多少倍 。借此可以看出该数据在全体数据所处的位置 。标准化变量z的定义如下式： 15 九、相关系数 n所谓相关系数（correlation coefficient） 是用来测量诸如收入与消费、气温和啤酒 的消费量、汇率与牛肉的进口价格等两个 变量X、Y之间的相互关系的大小和方向（ 正或负）的系数。通过计算相关系数，可 以知道X与Y之间具有多大程度的线性（ linear）关系。相关系数R的定义如下式： 16 17 相关系数的R的取值范围为，R的取值具有以下 的不同含义： n（1）R=1 完全正相关（perfect correlation ） n（2）R0 正相关（positive correlation） n（3）R=0 不相关（no correlation） n（4）R0 负相关（negative correlation） n（5）R=-1 完全负相关（perfect correlation ） 18 十、相关系数的检验 n计算出来的相关系数在多大程度上值得信赖，需要 进行检验。相关系数表列出了显著性水平（level of signification）分别为10%、5%、1%和0.1%，与不同 的自由度（样本数-2=n-2）相对应的相关系数的显著 性检验值。显著性水平越小，检验越严格。 n所谓显著性水平，指的是很少会发生的概率，这里 相当于相关系数为零（R=0），也即相当于不相关的 概率。例如，计算出来的相关系数的绝对值，如果大 于表1-17中显著性水平为1%的相关系数。那就意味着 ，该系数为零的概率，即不相关的概率，小于1%，因 此存在显著相关性。 19 第二节 常用的概率分布 n经济计量模型研究具有随机性特征的经济 变量关系。本节将对数理统计中常用的随机 变量分布及一些概念作一简单回顾。 20 第二节 常用的概率分布 n一、概率分布 n二、总体与样本 n三、正态分布 n四、抽样分布 21 一、概率分布 n随机变量在各个可能值上出现的概率的大小的 情况，叫概率分布。概率分布可用概率函数描 述。 n离散性随机变量X的可能取值为xi，P为概率， 则概率函数为 n P（X= xi ） i=1,2,3, n n概率函数满足 nP（X= xi ）0； 22 一、概率分布 n连续性的随机变量概率函数 23 二、总体与样本 n数理统计中把所研究对象的全部单位所 组成的集合，叫做总体。从总体中抽出的 部分单位所组成的集合，叫做样本。 24 三、正态分布 n当连续的随机变量的概率密度函数形式为 n时，称X的分布为正态分布,记为X ， 密度函数中 和 是X的数学期望和方差。 25 三、正态分布 n当 和 时，称X服从标 准正态分布，记为X 。 n对于非标准正态分布的X，总可以作如下 变换， ，使Z服从标准正态分布。 26 27 n某商店每月销售大米的数量服从正态分 布，均值为4500公斤，标准差300公斤。 试求当月大米销售量符合下面条件的概率 是多少？ n（1）超过4800公斤， n（2）少于4000公斤， n（3）在3800公斤与5000公斤之间。 28 四、抽样分布Sampling distribution n1、 分布 n2、 t 分布 n3、 F 分布 29 1、 分布 样本均值 分布也是正态分布，其数学期望 方差 ，即 30 样本方差服从自由度为n-1 的 分布。记为： 统计量定义为 分布的密度函数为： 其数学期望 其方差为 ， 31 统计量的条件，所以 服从自由度为n-1的分布。 样本方差符合 32 n如果随机变量X服从标准正态分布N（0，1）； 随机变量 服从自由度为n、方差为2n的 分 布。并且X和 相互独立，则统计量： 服从t分布。 2、 t分布 33 nt分布的密度函数为 其数学期望E（t）=0，方差 t分布的特点是： 左右对称；当n很大时，非常接近正态分布。 34 n对于从正态分布 的总体中抽的 容量为n的简单随机样本，其样本均值 与样 本标准差S构成如下统计量 服从自由度为n-1的t分布，记为tt(n-1)。 t分布在小样本（n30）统计推断中占有重要的地位。 35 n如果随机变量Xi(i=