高中数学第一章计数原理.4计数应用题学案苏教版.docx

1.4计数应用题1利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题(重点)2掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法(难点)小组合作型可化为排数(队)问题的计数问题(1)有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成_个不同的三位数(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有_种(3)从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程AxByC0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有_条(用数字表示)【精彩点拨】(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形(2)“插空法”分类求解(3)C0，从1,2,3,5,7,11中任取两个元素给A，B便可【自主解答】(1)法一(直接法)：依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：不要0与1的有CA23个；要1不要0的有CA22个；要0不要1的有2C22A个故共可组成不同的三位数：CA23CA222C22A432(个)法二(间接法)：把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有CA种，再正反面交换，有23种，故总数为CA23，其中0在百位上时不符合要求，有CA22，故可得到不同的三位数CA23CA22432(个)(2)分两类：(1)先排歌舞类有A6种排法，再将其余的三个节目插空如图所示，或者，此时有2AA72种；(2)先排歌舞类有A6种排法，其余的两个小品与相声排法如图，或者，有4AC48，所以共有7248120种不同的排法(3)因为直线过原点，所以C0，因此只需从1,2,3,5,7,11中任取两个元素分别作为A，B便可，共有A种不同取法，对应A30条不同直线【答案】(1)432(2)120(3)301本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面2实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数再练一题1从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是_. 【导学号：29440018】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A20种排法，因为，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是20218.【答案】18分组、分配问题中的计数问题有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法：(1)将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)将6本书平均分给三个人，每人两本【精彩点拨】【自主解答】(1)不平均分组问题先在6本书中任取一本，作为一堆，有C种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有C种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C种取法，故一共有CCC60种不同的分法(2)不平均定向分配问题由(1)知，分成三堆的方法有CCC种，而每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是CCC60种(3)不平均不定向分配问题由(1)知，分为三堆的方法有CCC种，但每种分组方法又有A种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有CCCA360种(4)平均分配问题将6本书平均分给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有C种方法，甲、乙不论用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有C种方法，所以一共有CCC90种方法1本题属于典型分配问题，(1)(2)属于逐个分配，直接应用分步计数原理(3)采用先分组再分配的方法2解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题，可以按要求逐个分配，也可先分组再分配再练一题2(1)在本例中，将6本书分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙两人各一本，有多少种不同的分法？(2)在本例中，若6本书完全相同，分给甲、乙、丙三位同学，每人至少有一本，有多少种不同的分法？【解】(1)甲从6本书中任取4本的方法有C种，甲不论用哪一种方法取得4本书后，乙再从余下的2本书中取1本，有C种方法，甲、乙不论用哪种方法取书后，丙从余下的1本书中取出1本，有C种方法，所以一共有CCC30种方法(2)(隔板法)：把6本书排成一排摆好如图“”，因为书都相同，所以从中间的5个位置中隔上两块板，甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可所以共有C10种方法探究共研型涂色中的计数问题探究在使相邻区域涂色不相同时，应采用什么计数原理进行？【提示】在相邻区域涂色不相同问题中，相邻区域涂色时采用分步计数原理进行，但不相邻区域颜色可相同，因此又要用到分类计数原理1423图141用五种不同的颜色给图141中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【精彩点拨】(1)无限制条件的涂色问题，只要符合题意便可(2)有限制条件的涂色问题，注意相邻区域及对称区域的颜色【自主解答】(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54625种(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，有541480种涂法第二类：1号区域与3号区域异色时，有5433180种涂法依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80180260种1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色2涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色再练一题3如图142所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种. 【导学号：29440018】图142【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步计数原理，共有321212(种)不同涂法【答案】121甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有_种【解析】第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为CCC225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为CCC120(种)共有225120345(种)【答案】3452某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有_种【解析】第一步，先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法由分步计数原理得共有2CAC36(种)分配方案【答案】363从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展览，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有_种. 【导学号：29440019】【解析】分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内故不同的放法种数为CA120 960(种)【答案】120 9604如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有_种【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法CA120种【答案】1205有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？【解】因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C种亮灯方法然后分步确定每个二极管发光颜色有2228(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C222160(种)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有_种【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种故有CA300种【答案】3002将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有_种【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所中学，共有CA36种分配方案【答案】363在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有CA36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A24种故共有60种获奖情况【答案】604某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有CAA种方案由分类计数原理得共有ACAA120(种)方案【答案】120种5由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共_个. 【导学号：29440020】【解析】分两类：若1与3相邻，有ACAA72(个)，若1与3不相邻，有AA36(个)故共有7236108个【答案】1086甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有CA种不同的站法因此不同的站法种数是ACA336.【答案】3367某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有_种【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案AAA192种；(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有AAA192种；(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4AAA192种；若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4AAAA432种，所有共有1921921924321 008种【答案】1 0088若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_【解析】由题意知中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；(1)若正确，即a1，则都错误，即b1，c2，d4.其中a1与b1矛盾，显然此种情况不存在(2)若正确，即b1，则都错误，即a1，c2，d4，则当b2时，有a3，c1；当b3时，有a2；c1此时有2种有序数组(3)若正确，即c2，则都错误，即a1，b1，d4，则a3，即此种情况有1种有序数组(4)若正确，即d4，则都错误，即a1，b1，c2，则当d2时，有a3，c4或a4，c3，有2种有序数组；当d3时，有c4，a2，仅1种有序数组综上可得共有21216(种)有序数组【答案】6二、解答题93名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上有A种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C种方法，还有2个女同志有A种安排方法，故共有ACA432种安排方法(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种方法，将4组安排到4辆车上有A种方法，故共有CCA216种安排方法10有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？【解】设集合A只会划左舷的3个人，B只会划右舷的4个人，C既会划左舷又会划右舷的5个人先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人，C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在BC中选3人，即有C种选法因是分步问题，所以有CC种选法第类，划左舷的人在A中选2人，有C种选法，在C中选1人，有C种选法，划右舷的人在BC中剩下的8个人中选3人，有C种选法因是分步问题，所以有CCC种选法类似地，第类有CCC种选法，第类有CCC种选法故有CCCCCCCCCCC848401 0502002 174种不同的选法能力提升1如果一个三位正整数a1a2a3满足a1a2a3，则称这样的三位数为“好数”(如123,367,378)，那么三位数中所有“好数”的个数是_(用数字作答)【解析】由题意，在1,2，9这九个数字中任取3个，只能组成1个“好数”(0不能选，因为若选0，则0只能排在首位，此时已不是三位数)，故有好数C84个【答案】84个2今有2个红球，3个黄球，4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有_种不同的方法(用数字作答). 【导学号：29440021】【解析】法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有CCC1 260种方法法二：