2019届高考数学二轮复习专题六1第1讲概率、离散型随机变量及其分布列学案.docx

第1讲概率、离散型随机变量及其分布列年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷几何概型T101.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题.2.选择或填空题常出现在第410题或第1315题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般.3.概率解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查；(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.二项分布及其应用T20卷古典概型T8卷二项分布、方差T82017卷数学文化、与面积有关的几何概型T2正态分布、二项分布的性质及概率、方差T19卷频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用T182016卷与长度有关的几何概型T4柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望T19卷几何概型、随机模拟T10互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望T18古典概型与几何概型(基础型) 古典概型的概率公式P(A). 几何概型的概率公式P(A).考法全练1(2018高考全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.B.C.D.解析：选C.不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P，故选C.2(一题多解)(2018高考全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2Bp1p3Cp2p3Dp1p2p3解析：选A.法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域的面积即ABC的面积，为S1bc，区域的面积S2(c2b2a2)bcbc，所以S1S2，由几何概型的知识知p1p2，故选A.法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S2122，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.3(2018潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是()A.B.C.D.解析：选C.设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC1，则BGCG，BGC120，在BCG中，由余弦定理得1BG2BG22BG2cos 120，得BG，所以SBCGBGBGsin 120，因为S六边形ABCDEFSBOC611sin 606，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1.4(2018郑州模拟)某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是_解析：选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，不同的支教方法有CA种，而甲、乙两人在同一边远地区支教的不同方法有CA种，所以甲、乙两人不在同一边远地区支教的概率为P1.答案：5(2018南昌模拟)在圆x2y24上任取一点，则该点到直线xy20的距离d0，1的概率为_解析：圆x2y24的圆心为O(0，0)，半径r2，所以圆心O到直线xy20的距离为d12r，所以直线xy20与圆O相切不妨设圆x2y24上到直线xy20的距离d0，1的所有点都在上，其中直线AB与直线xy20平行，直线AB与直线xy20的距离为1，所以圆心到直线AB的距离为r11，所以cos，所以AOB，得AOB，所以所求的概率P.答案：互斥事件、相互独立事件的概率(基础型) 条件概率在A发生的条件下B发生的概率P(B|A). 相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B) 独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0，1，2，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)，且E(X)np，D(X)np(1p)考法全练1一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为_解析：设“第1次摸出红球”为事件A，“第2次摸出红球”为事件B，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB，所求事件为B|A.事件A发生的概率为P(A)，事件AB发生的概率为P(AB).由条件概率的计算公式可得，所求事件的概率为P(B|A).答案：2某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，则该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_解析：由正态分布知元件1，2的平均使用寿命为1 000小时，设元件1，2的使用寿命超过1 000小时分别记为事件A，B，显然P(A)P(B)，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为ABAB，所以其概率P.答案：3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.则DD0D1，且D0，D1互斥依题意，得P(D0)C，P(D1)C，所以P(D)P(D0)P(D1).所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.随机变量的分布列、均值与方差(综合型) 均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为实数) 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p) 典型例题命题角度一超几何分布的判断、期望与方差的求解 (2018石家庄质量检测(一)某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名同学的数学成绩(单位：分)，按90，100)，100，110)，140，150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：(1)求m的值，并且计算这50名同学数学成绩的平均数；(2)该学校为制订下阶段的复习计划，从成绩在130，150内的同学中选出3名作为代表进行座谈，记这3人中成绩在140，150内的同学人数为，写出的分布列，并求出数学期望【解】(1)由题意知(0.0040.0120.0240.0400.012m)101，解得m0.008，则950.004101050.012101150.024101250.040101350.012101450.00810121.8(分)(2)成绩在130，140)内的同学人数为6，在140，150内的同学人数为4，从而的所有可能取值为0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列为0123PE()0123.(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率(2)对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率可直接利用公式P(Xk)(k0，1，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*)提醒本题的易错点是混淆超几何分布与二项分布，两种分布的本质差别在于“有放回”和“无放回”，“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布 命题角度二二项分布的判断、期望与方差的求解 (2018武汉调研)甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩(单位：分)记录如下：甲867792727884乙788288829590(1)用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)(2)若将频率视为概率，对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行预测，记这3次测试的成绩高于85分的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)及方差D(X)【解】(1)茎叶图如图：由图可知乙的平均水平比甲高，故选派乙参赛更好(2)由题意得，甲运动员每次测试的成绩高于85分的概率是，3次测试的成绩高于85分的次数X服从二项分布，X所有可能的取值为0，1，2，3，P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，X的分布列为X0123PE(X)31，D(X)3.(1)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列(2)对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，E(X)np，D(X)np(1p)求得 命题角度三独立事件的判断、期望与方差的求解 (2018益阳、湘潭调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况规定一名运动员出线记1分，未出线记0分假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E()【解】(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)1P()1.(2)由题意可得，的所有可能取值为0，1，2，3，则P(0)P()；P(1)P(A)P(B)P(C)；P(2)P(AB)P(AC)P(BC)；P(3)P(ABC).所以的分布列为0123PE()0123.破解此类离散型随机变量的分布列与数学期望问题的思维切入口是：先利用两个计数原理，排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求基本事件的概率；再依题意判断随机变量的所有可能取值，求出随机变量X取每个值时的概率，即可得随机变量X的分布列；最后利用随机变量X的数学期望的定义计算 命题角度四利用均值与方差破解决策性问题 某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄洪水量发电如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X0，120，历年中日泄流量在区间30，60)的年平均天数为156，一年按364天计(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60X，所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机由于离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，离散型随机变量的方差和标准差都反映了离散型随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，越稳定因此，常利用离散型随机变量的均值与方差来解决有关决策问题 对点训练(2018惠州第二次调研)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率p，记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.(1)求S620且Si0(i1，2，3)的概率；(2)记|S5|，求的分布列及数学期望解：(1)当S620时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首由Si0(i1，2，3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首则所求的概率PCC.(2)由题意知|S5|的所有可能的取值为10，30，50，又p，所以P(10)CC，P(30)CC，P(50)CC，所以的分布列为103050P所以E()103050. A组夯基保分专练一、选择题1(2018惠州第二次调研)设随机变量服从正态分布N(4，3)，若P(a1)，则实数a等于()A7B6C5D4解析：选B.由随机变量服从正态分布N(4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x4，又P(a1)，所以xa5与xa1关于直线x4对称，所以a5a18，即a6.故选B.2(2018武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.B.C.D.解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为.故选C.3小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人去的景点不相同”，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)()A.B.C.D.解析：选A.小赵独自去一个景点共有4333108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A432124种，所以P(A|B).4用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1a2a4a5特征的五位数的概率为()A.B.C.D.解析：选B.1，2，3，4，5可组成A120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有CC6个，故出现a1a2a4a5特征的五位数的概率为.5(2018高考全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7B0.6C0.4D0.3 解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)2p2，所以p0.5，所以p0.6.6(2018贵阳模拟)点集(x，y)|0xe，0ye，A(x，y)|yex，(x，y)，在点集中任取一个元素a，则aA的概率为()A.B.C.D.解析：选B.如图，根据题意可知表示的平面区域为正方形BCDO，面积为e2，A表示的区域为图中阴影部分，面积为(eex)dx(exex)|(ee)(1)1，根据几何概型可知aA的概率P.故选B.二、填空题7某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是_解析：利用隔板法将7元分成3个红包，共有C15种领法甲领3元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种情况，共有A13种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种情况，共有A2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种情况，共有1种领法，所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是.答案：8(2018唐山模拟)向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为_解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为22，所以向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P.答案：9某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止设甲每次击中的概率为p(p0)，射击次数为，若的均值E()，则p的取值范围是_解析：由已知得P(1)p，P(2)(1p)p，P(3)(1p)2，则E()p2(1p)p3(1p)2p23p3，解得p或p，又p(0，1)，所以p.答案：三、解答题10(2018贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？解：(1)由题意可得，所求概率为PCC.(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.P(X1)，P(X2)，P(X3)，E(X)1232，D(X)(12)2(22)2(32).设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.由题意可知YB，所以E(Y)32，D(Y)3.因为E(X)E(Y)，D(X)D(Y) ，所以甲被录取的可能性更大11(2018西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为5，15，(15，25，(25，35，(35，45，由此得到样本的质量频率分布直方图(如图)(1)求a的值，并根据样本的数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.020.032a0.018)101，解得a0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为0.2100.32200.3300.184024.6(克)故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克(2)该盒子中小球质量在5，15内的概率为，则XB.X的可能取值为0，1，2，3，P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.12(2018长春质量监测(二)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示(1)现按分层抽样的方法，从质量为250，300)，300，350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在300，350)内的芒果个数，求X的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)9个芒果中，质量在250，300)和300，350)内的分别有6个和3个则X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)01231.(2)设选择方案A可获利y1元，则y1(1250.0021750.0022250.0032750.0083250.0043750.001)5010 000100.00125 750.设选择方案B，从质量低于250克的芒果中获利y2元，从质量高于或等于250克的芒果中获利y3元，则y2(0.0020.0020.003)5010 00027 000.y3(0.0080.0040.001)5010 000319 500.y2y37 00019 50026 500.由于25 7500；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验32017年央视315晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中该部门每次抽查的结果相互独立假设该部门完成以上三次抽查(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设X表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X的分布列和数学期望解：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A，“在甲企业抽中”为事件B，“在乙企业第一次抽中”为事件C，“在乙企业第二次抽中”为事件D，则由题意知P(B)，P(C)P(D).(1)因为ABCD，所以P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D).(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.所以P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)，P(X1)P(B)P(B)1P(C)1P(D)，P(X2)P(CD)P(B CD)P(D)，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)，P(X4)P(BCD)1P(B)P(C)P(D)，P(X5)P(BCD)P(B)P(C)P(D).故X的分布列为X012345P所以E(X)012345.4交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年