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概率论复习提纲第一章1基本概念 随机现象、随机试验、统计规律性、样本点、样本空间、不可能事件、基本事件、随机事件、必然事件。2事件的关系与运算事件发生事件至少有一个发生；事件发生事件同时发生；事件发生事件发生，且事件不发生；事件与互不相容（互斥） ；事件与互为逆事件 ，且。；。注意：事件与互不相容若事件发生，则事件不发生；事件与互不相容若事件不发生，则事件发生；3概率的定义与性质，；事件与互不相容（互斥）注意：（1）; ;（2） ，一般（3）事件与互不相容4古典概型（1）拿球模型10个球中有4个白球，6个黑球，从中任取5个，其中2个白球，3个黑球的概率为 （2）生日问题一个宿舍有4个学生，只有1人生日在12月份；4个人的生日在同一个月份；4个人的生日不在同一个月份；4人的生日在不同月份；4人中至少有2人生日在同一个月份；则上述事件的概率分别为；。5条件概率与乘法定理；。6全概率公式与贝叶斯公式，7事件的独立性事件与相互独立事件与，与，与也相互独立8重贝努利试验，第二章1离散型随机变量的分布律及其性质（1）离散型随机变量的分布律练习1 从编号为1、2、3、4、5的5个球中任取3个，记X为3个球中的最大号码，求随机变量X的分布律。解答；，即取到的3个球的编号为1、2、3， ，即取到的3个球中一个是4号，其余是编号为1、2、3中的两个，即取到的3个球中一个是5号，其余是编号为1、2、3、4中的两个，于是；所以随机变量X的分布律为3450.10.30.6练习2 5个产品中有2个次品，3个正品，从中任取3个，记X为3个产品中正品的个数，求随机变量X的分布律。解答；，所以随机变量X的分布律为1230.30.60.1（2）三个常用的离散型随机变量（0-1）分布，二项分布，泊松分布（记分布律，数学期望和方差）2分布函数的定义与性质，注意：（1）；。（2）若，分别为随机变量的分布函数，则不是任何随机变量的分布函数。（因为，）3连续型随机变量的概率密度及其性质（1）连续型随机变量的概率密度；对于任何实数，有成立；。（2）三个常用的连续型随机变量均匀分布，指数分布（参数为），正态分布（记概率密度，数学期望和方差）（3）正态分布标准正态分布的分布函数满足，；若，则。练习设某种零件的长度服从参数为，的正态分布，规定长度误差在范围内的为合格品，求这种零件的合格率；若任意抽取20个这种零件，问其中不合格品不超过2个的概率是多少？解答 设这种零件的长度为，则，这种零件的合格率为设任意抽取的20个零件中有个为不合格品，则， 于是，（保留4位小数）4随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布随机变量取值从小到大排列，相同值对应概率相加。（2）连续型随机变量函数的分布若不单调，则先求随机变量的分布函数，再求出随机变量的概率密度；若单调，可直接利用公式（见教材P57）；（3）若，则，。第三章1二维随机变量的联合分布，边缘分布，独立性（1）二维随机变量关于，的边缘分布函数分别为与相互独立（2）二维离散型随机变量关于，的边缘分布律分别为与相互独立（3）二维连续型随机变量关于，的边缘概率密度分别为，与相互独立（4）两个常用的二维连续型随机变量若在区域上服从均匀分布，则的联合概率密度为，其中为区域的面积。若，则，；与相互独立。 2两个随机变量函数的分布（1）若，且与相互独立，则 。（2）若，则的分布函数分别为，。第四章1数学期望的概念，性质和计算（1）离散型随机变量 一维 ,二维 ,，（2）连续型随机变量 一维 ,二维 ,， （3）2方差的概念，性质和计算（1）（2）（3）与相互独立3协方差、相关系数的概念，性质和计算（1） （2） 练习长度为的细棒随意折成两段，长度分别为,，则 。解答, ,，.（3）与不相关（4）与相互独立与不相关，与不相关与相互独立，若，则，与相互独立与不相关.练习设在区域上服从均匀分布，写出的联合概率密度，并求关于的边缘概率密度，判断是否相互独立；又是否互不相关?解答 区域的面积为1，的联合概率密度为，显然，所以不相互独立。，（或），（或），由于，所以互不相关。第五章1大数定律（了解），2中心极限定理（1）设，且相互独立，则近似服从；近似服从，（2）设，则近似服从第六章1 基本概念个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量，样本的联合分布，统计量2样本均值，性质：样本方差，性质：注意：必须学会用计算器计算样本均值和样本方差，考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器可视为作弊，因此考试时务必带好计算器3分布，分布，分布的定义，上分位点的含义及查表4抽样分布定理定理1（教材P147）定理2、3、4（教材P148）第七章1矩估计法（用样本的矩作为总体的矩的估计）（1）样本均值是总体均值的矩估计（2）是总体方差的矩估计注意：样本方差不是总体方差的矩估计2极大似然估计法极大似然估计法的步骤：（1）写出似然函数或，（2）似然函数取对数，化简，（3）求导数，（4）令，解得参数的极大似然估计3估计的无偏性和有效性（1）样本均值是总体均值的无偏估计（2）样本方差是总体方差的无偏估计注意： 不是总体方差的无偏估计，样本标准差不是总体标准差的无偏估计（见教材P165例1（3）估计的有效性重点参考相关练习以及老师讲课用的PPT4参数的区间估计单个正态总体均值的置信区间（方差已知，方差未知）单个正态总体方差的置信区间（均值未知）两个正态总体均值之差的置信区间（方差已知，方差未知但）两个正态总体方差之比的置信区间（均值未知）上述6种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式第八章1假设检验的原理及其含义，两类错误2（1）方差未知时，单个正态总体均值的假设检验（，；，；，；）（2）方差未知但时两个正态总体均值的假设检验（，；，；，；）（3）均值未知时两个正态总体方差的假设检验（，；，；，）上述9种假设检验的原假设，备择假设及其相应的统计量，拒绝域附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式注意：（1）根据题意选择双边或单边检验（2）在单边检验中，应选择与事实一致的作为备择假设，然后再