高等数学（二） 高阶偏导数及泰勒公式 课件

17 高阶偏导数及泰勒公式,由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论,一、高阶偏导数,称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.,类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数.,例1.,解:,若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢?,问题:,是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?,若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数,则,定理1,分析. 按定义,f (x0 , y0 +y), f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0),同理,证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内.,记 A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y) f (x0 , y0),(x) = f (x , y0 +y ) f (x , y0),有 A = (x0 +x) (x0),即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日中值定理条件.,因A = (x0 +x) (x0) , (x) = f (x , y0 +y )f (x , y0),A = (x0 +1x) x,再对变量 y 用拉格朗日中值定理.,得,另外, A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0, y0 +y ) f (x0+x, y0) f (x0 , y0),记 (y) = f (x0 +x , y) f (x0 , y),从而,A = (y0 +y) (y0) (由拉格朗日中值定理),故,1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形.,即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).,注,2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数.,若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k m 次, 都可写成,例2.,解:,比较知 a = 1, b = 0.,例3.,解: 设 u=x+y+z, v=xyz,从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数.,由链式法则.,注意：,还要用链式法则来求.,例4.,解:,例5.,解: (1),由隐函数求导公式,从而,(2)上式两端对 x 求偏导. 此时右边的z看作 x 的的函数. y要看作常数.,有,例6. 设方程组,解: (1)先求一阶偏导.,注意, u, v 看作 x, y 的函数.,得,方程两边对x 求偏导.,从而,(2),从而,例7. 设u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 .,解:,u = f (x, x3, z), (x2, 3lnx, z) = 0,易见 z, u均 x 的函数, 方程两边对 x 求导数.,得,从而,和一元函数一样, 多元函数也有高阶微分的概念. 我们只介绍二元函数的高阶微分.,若 dz 还可微, 则记 d2z = d(dz), 称为,z 的二阶微分.,二、高阶微分,下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式.,设以 x, y 为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck .,由于x, y 为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关.,固定x, y, (即将它们看作常数),求dz的微分.,且 d2z = d(dz),记,引进记号.,这相当于规定了 “将字母 z 移到括号外“ 的方法。,实际上，,它把C1中的每一个z, 通过上述运算, 映成了dz.,若记这个映射为g ,则,比较两端式子, 可看出,不过是用一个我们陌生的式子,来代替字母 g 而已.,即,我们把这个映射称为一阶微分算子.,类似, 记,并规定:,故, 二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次.,只不过这种复合运算在上述规定下, 可以看作是一阶微分算子,一般, 若形式上规定.,(1) 当 z = f (x, y)Ck 时, z 有 k 阶微分.,(2),只有把它按上述规定, 展开后, 再将各项 “乘“以 z (即, 将 z 补写在 k 后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.,注,(3),它本质上是一个映射. 它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z .,(4) 若 x, y 不是自变量, dk z 一般不具有上述形式.,18 方向导数,函数的导数就是函数的变化率.,比如, y = f (x),如图,一、方向导数的概念,表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率.,表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.,又比如, z = f (x, y), 偏导数,分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.,如图,x,o,y,z,x0,(x0, y0),y,表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向的变化率.,表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.,但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率.,比如, 设 f (X)表示某物体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.,因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向的方向导数.,把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.,即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.,即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,如图,设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.,以 X0 为端点引射线 l , 其单位方向向量为 e = (cos, cos), 设X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一点.,x,o,y,z,M0,l,X0=(x0, y0),X = (x0+x, y0+y),M,N,定 义,X = (x0+x, y0+y),x,o,y,z,M0,l,X0=(x0, y0),M,N,则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)沿 l 的方向导数.,x,o,y,z,M0,l,X0=(x0, y0),M,N,X = (x0+x, y0+y),沿l,1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趋向于X0 .,的分母大于0.,如图,另外比值,注,2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在.,则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y (x0, y0), 而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y (x0, y0).,3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.,由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ),从而 l 的参数式方程为,x = x0 + tcos,y = y0 + tcos ,t 0,或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ),而 X X0 就是 t 0+.,即 X = X0+ te,从而,这正是教材中给出的定义式.,若 z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 = (x0, y0) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一方向e = (cos, cos)的方向导数存在. e为单位向量.,且,= Jf (X0) e. (最后两式为数量积),二、方向导数的计算,定理4,证: 如图,x,o,y,X0 = (x0, y0),e,y,x,l,X0 = (x0+x, y0+y),在射线 l 上取点 X = (x0+x, y0+y),其中, X =(x, y),故 X = te , (t 0),X = X0 +te ,= X0 + X,由方向导数定义,看 f (X0 + te) f (X0).,沿 l,因 f (X)在X0可微,知,z = f (X0 + X ) f (X0),= f (x0 + x, y0 + y ) f (x0 , y0),由定理1,= Jf (X0) X + 0(| X |),上式对任何x, y 都成立.,特别, 当 X = X0 + X 在射线 l 上时, 当然成立.,即, 当 X0 + X = X0 + te 时, 有,f (X0 + te ) f (X0),= Jf (X0) ( te ) + 0(| te |),= t (Jf (X0) e + 0 ( t ),除以 t 0, 并令 t 0+, 有,即 z = f (X0 + X ) f (X0) = Jf (X0) X + 0(| X |),= Jf (X0) e,即, 若 u = f (x, y, z) 在点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微,则 u 在该点处沿任何方向e = (cos, cos , cos )的方向导数存在,= Jf (X0) e,且,公式可推广到三元函数中去.,例5.求 u = xyz 在点 X0 = (1, 1, 1)处沿从该点到 点 X1 = (1, 2, 2)方向的方向导数.,解: (1)先求出这个方向上的单位向量 e .,(2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 处偏导数.,(3)由公式得方向导数,1.若 z = f (X) = f (x, y) 在区域D内存在一阶连续偏导. X0 = (x0, y0) 是 D 内一点. 知 z 在 X0 沿任何方向e = (cos, cos )的方向导数,其中 | e | = 1.,问,注,故,最大值为 |Jf (X0)|.,函数沿Jf (X0) 的方向增长最快.,(2),即,(3) 记 grad f (X) = Jf (X) = ( f x(x, y), f y(x, y)称为 f (X)在点 X 处的梯度.,2.设 z = f (X) = f (x, y) , 考察 z 在点 X0 = (x0, y0)处连续; 存在两偏导; 沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.,(1),(反之如何?),可微 连续, 可微 存在两偏导