2019届高考数学专题一函数第2讲基本初等函数学案.docx

第2讲基本初等函数 1. 高考对幂、指数、对数函数的考查主要与其他基本初等函数知识相结合，考查函数的图象及性质，考查指数式、对数式的运算，考查指数、对数型复合函数的性质2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 指数与对数的基本运算、对数的运算性质；(2) 与指数式综合考查比较大小；(3) 有关图象的识别问题；(4) 指数、对数型复合函数的有关性质1. (2018苏州调研)函数y的定义域为_答案：(1，2)(2，)解析：由解得函数的定义域为(1，2)(2，)2. y(loga)x在R上为减函数，则a_答案：(，1)解析：因为y(loga)x在R上为减函数，所以0loga1，所以a1，即a(，1)3. (2018苏州期末)已知4a2，logax2a，则正实数x的值为_答案：解析：由4a2，得22a21，所以2a1，即a.由logx1，得x.4. (2018广州一测)已知函数f(x)则f(f(3)_答案：解析：因为f(3)1log23log20，所以f(f(3)f2log2.,一) 基本初等函数的性质研究,1) 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.解：(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).由f(1)f(1)知，解得a2.经检验，当a2，b1时，f(x)为奇函数(2) 由(1)知f(x).易知f(x)在(，)上为减函数因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)0等价于f(t22t)2t21，即3t22t10，解不等式可得t1或t，所以不等式的解集为.已知函数f(x)a(aR)(1) 试判断f(x)的单调性，并证明你的结论；(2) 若f(x)为定义域上的奇函数，求： 函数f(x)的值域； 满足f(ax)f(2ax2)的x的取值范围解：(1) f(x)在R上单调递增证明：函数f(x)的定义域为R，且f(x)a，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x1)aa.因为y2x在R上单调递增，且x1x2，所以02x10，2x110，2x210，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在R上是单调增函数(2) 因为f(x)是定义域上的奇函数，所以f(x)f(x)，即a(a)0对任意实数x恒成立，化简得2a()0，所以2a20，即a1. 由a1得f(x)1.因为2x11，所以01，所以20，所以111，故函数f(x)的值域为(1，1) 由a1得f(x)f(2x2)，且f(x)在R上单调递增，所以x2x2，解得2x1.故x的取值范围是(2，1),二) 基本初等函数的图象变换,2) 设f(x)|lg x|，a，b为实数，且0ab.(1) 若a，b满足f(a)f(b)，求证：ab1；(2) 在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)2f()所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3，4)，使g(b0)0.证明：(1) 结合函数图象(如图)，由f(a)f(b)，0ab可判断a(0，1)，b(1，)，从而lg alg b，即ab1.(2) 因为0a1.由已知可得b()2，得4ba2b22ab，得b224b0.设g(b)b224b，因为g(3)0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3，4)内一定存在零点，即存在b0(3，4)，使g(b0)0.已知函数f(x)lg |x|.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)画出函数f(x)的草图；(3)求证：f(x)在(，0)上是减函数(1) 解： 要使函数有意义，x的取值需满足|x|0，解得x0，即函数的定义域是(，0)(0，)f(x)lg |x|lg |x|f(x)，所以f(x)f(x)所以函数f(x)是偶函数(2) 解：函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，如图所示(3) 证明：设x1，x2(，0)，且x1x2，则f(x1)f(x2)lg |x1|lg |x2|lglg .因为x1，x2(，0)，且x1|x2|0.所以1.所以lg 0.所以f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，0)上是减函数,三) 基本初等函数与不等式综合,3) (2018厦门月考)已知函数f(x)ln.(1) 求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2) 对于x2，6，f(x)lnln恒成立，求实数m的取值范围解：(1) 由0，解得x1，所以函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)lnlnln lnf(x)，所以f(x)ln是奇函数(2) 由于x2，6时，f(x)lnln恒成立，所以0.因为x2，6，所以0m(x1)(7x)在x2，6上恒成立令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6，由二次函数的性质可知，x2，3时函数g(x)单调递增，x3，6时函数g(x)单调递减，即x2，6时，g(x)ming(6)7，所以0mkg(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1) h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1，4，所以log2x0，2，故函数h(x)的值域为0，2(2) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x.令tlog2x，因为x1，4，所以tlog2x0，2，所以(34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立 当t0时，kR； 当t(0，2时，k恒成立，即k0，且a1，函数f(x)loga(x1)，g(x)loga，记F(x)2f(x)g(x)(1) 求函数F(x)的定义域D及其零点；(2) 若关于x的方程F(x)m0在区间0，1) 内有解，求实数m的取值范围解：(1) F(x)2f(x)g(x)2loga(x1)loga(a0且a1)，由解得1x1，所以函数F(x)的定义域D为(1，1)令F(x)0，则2loga(x1)loga0(*)方程变为loga(x1)2loga(1x)，即(x1)21x，即x23x0，解得x10，x23，经检验x3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解为x0，即函数F(x)的零点为0.(2) m2loga(x1)logalogaloga(1x4)(0x1，则m0，方程有解； 若0aab解析：根据换底公式可得：alog2e，而bln 2ln e1，故a1b，同时，clog23log2ea，所以cab.4. (2017山东卷)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数为_(填序号) f(x)2x； f(x)3x； f(x)x3； f(x)x22.答案：解析：令g(x)exf(x)对于，f(x)的定义域为R，g(x)ex2x()x在R上单调递增，具有M性质；对于，f(x)的定义域为R，g(x)ex3x()x在R上单调递减，不具有M性质；对于，f(x)的定义域为R，g(x)exx3，g(x)exx33x2exex(x33x2)0在R上不恒成立，所以g(x)在R上不单调递增，不具有M性质；对于，f(x)的定义域为R，g(x)ex(x22)，g(x)ex(x22)2xexex(x22x2)0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递增，具有M性质故填.5. (2017全国卷)已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)0，求a的取值范围解：(1) 函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa) 若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增 若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 若a0，则由f(x)0得xln()当x(，ln()时，f(x)0；当x(ln()，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln()上单调递减，在(ln()，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在(，)上单调递增；当a0，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增(2) 若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0. 若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0. 若a0，则由(1)得当xln()时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln()a2ln()从而当且仅当a2ln()0，即a2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，1 (本题模拟高考评分标准，满分14分)(2018锡山中学)已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解：(1) 因为f(x)bax的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以 (3分)得a24，又a0，且a1，所以a2，b3，所以f(x)32x.(7分)(2) ()x()xm0在(，1上恒成立化为m()x()x在(，1上恒成立(9分)令g(x)()x()x，g(x)在(，1上单调递减，所以mg(x)ming(1)，(12分)故所求实数m的取值范围是. (14分)1. 当0xg(x)f(x)解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)2. (2018江阴中学月考)设函数ylog2(ax22x2)的定义域为A.(1) 若AR，求实数a的取值范围；(2) 若log2(ax22x2)2在x1，2上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为AR，所以ax22x20在xR上恒成立. 当a0时，由2x20，得x， 综上所述，实数a的取值范围是. (2)依题意有ax22x24在x1，2上恒成立， 所以a2()在x1，2上恒成立. 令t，则由x1，2，得t.记g(t)t2t，由于g(t)t2t在t上单调递增，所以g(t)g(1)2, 因此a4，所以实数a的取值范围是(4，)3. 已知aR，函数f(x)log2(a)(1) 当a5时，解不等式f(x)0；(2) 若关于x的方程f(x)log2(a4)x2a50的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围解：(1) 当a5时，f(x)log2(5)，由f(x)0，得log2(5)0，即51，即x0或x，即不等式的解集为.(2) 由f(x)log2(a4)x2a50，得log2(a)log2(a4)x