非线性控制系统分析.ppt

第七章,非线性控制系统分析,自动控制原理,中国民航大学 航空自动化学院,第7章 非线性控制系统分析,7-1 非线性控制系统概述,基本内容,7-2 常见非线性环节对系统运动的影响,7-3 描述函数法,7-4 相平面法,基 本 要 求,1.明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。 2. 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。 3. 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。 4. 熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动, 判断周期运动的稳定性。,简 介,非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。,本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。,前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； 一些系统作为线性系统来分析： 系统的非线性不明显，可近似为线性系统。某些系统的非线性特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理； 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。,如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。,7.1 非线性控制系统概述,一.实际系统中的非线性因素,图7-1 一些常见的非线性特性,除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能 或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最简单和最普遍的就是继电器。,图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性,二、本质非线性系统有以下特点： 1）初始条件与输入量对非线性系统的影响,非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应过程为单调衰减，而在另一初始条件下则为衰减振荡，如图所示。,线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。,初始条件不同时非线性系统不同的响应特性,2）系统的稳定性也与输入信号的大小、初 始条件有关,（1）当初始条件xo1时,1xo0,上式具有负的特征根,其暂态过程按指数规律衰减,该系统稳定。 （2）当xo=1时,1-xo=0,上式的特征根为零,其暂态过程为一常量。 （3）当xo1时,1-xo0,上式的特征根为正值,系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。,线性系统系统的稳定性只取决于系统结构和参数，与输入信号及初始条件无关。,但非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与输入信号及初始条件有关。即可能在某个初始条件下稳定，而在另一个初始条件下系统可能不稳定。,3）非线性系统可以产生自持振荡： 在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或自振荡； 线性系统只有两种工作模式：要么发散，要么收敛； 非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。,4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由于非线性其输出将不再是正弦信号，而包含有各种谐波分量，发生非线性畸变。,线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。,三、非线性系统分析方法： 1）非线性系统的运动比线性系统复杂得多； 2）分析线性系统的分析方法不能用于分析非线性系统； 3）非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止非线性微分方程没有成熟的解法； 4）描述函数法、相平面法和李亚谱诺夫第二方法是分析非线性系统的三种方法。,7.2 常见非线性环节对系统 运动的影响,一.不灵敏区,不灵敏区又叫 死区，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。,死区特性,死区非线性特性的数学表达式如下：,式中,包含死区的非线性系统,在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的影响：一方面它使降低了开环增益，控制精度降低，单相对稳定性提高；另一方面有时人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。,二、饱和,图7-9 部件的饱和现象,理想化后的饱和特性典型数学表达式为：,式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数（对于放大元件，也称增益）。,粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。,图7-10 饱和特性,图7-11 饱和特性的等效增益,图7-13 图7-12系统的响应,随动系统的方块图如图712所示。,当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图7-13中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如图7-13中的曲线2。,图7-12 非线性系统,若随动系统的方块图如图715所示。,图7-14 根轨迹图,图7-15 非线性系统,根轨迹分析：,图7-16系统的时间响应,三、间隙(非单值特性),图717 齿轮传动中的间隙,传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。,间隙特性的典型形式如图7-18所示,数学表达式为,图718 间隙非线性特性,间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来，它会增大系统的静差，使系统波形失真，过渡过程的振荡加剧。,图7-19 间隙特性的输入-输出波形,四、继电器特性,继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至会导致系统不稳定，并且使稳态误差加大。,7.3 描述函数法,一、描述函数的基本概念 当非线性元件输入一个正弦信号 输出是一个含有高次谐波的周期函数：,非线性元件的静特性不是时间t的函数, 即为非储能元件；,如果满足下列条件：,系统的线性部分具有较好的低通滤波特 性滤去高次谐波。,系统的输入为0，非线性元件的输入为 正弦信号：,非线性元件的特性是奇对称的，即有 直流分量为0；,满足上面条件,可以用基波信号代替整个输出的信号；,这个过程实际上是一个线性化过程，经 过线性化输出的信号与输入信号同频率， 只是在幅值和相位上有差异；,一般情况下，描述函数 为入幅值 的函数，而与频率无关。当非线性特 性为单值时，相应的描述函数为一实 数，表示输入与输出是同相的。,被称为非线性特性的描述函数。,经过线性化之后的输入输出关系,例,若非线性特性为,其特性曲线如图7-58，求其描述函数。,令,则有,解：,例题的输入-输出特性 描述函数,二、典型非线性环节的描述函数,1. 死区非线性,死区特性的描述函数为：,2. 饱和特性,3. 间隙特性,三、组合非线性特性,1. 非线性特性的并联等效,2. 非线性特性的串联等效,四、非线性系统稳定性分析,非线性控制系统可化为下列结构形式,图7-64 非线性控制系统,用描述分析非线性系统时两个基本假设：,系统的线性部分G(j)具有很好的低通滤波性。 系统若发生自激振荡（稳定的周期运动），假定非线性环节N的输入端的振荡为正弦波。,1、特征方程的解法,图764所示系统的特征方程为,（7-90）,因此可以类似的得到当线性系统为最小相位系统时的非线性系统的乃氏判据。,上述情况与线性系统中 的乃氏曲线穿越 点相类似,利用描述函数判断非线性系统稳定性时，非线性环节的负倒特性 相当于线性系统的 点；,如非线性部分的负倒特性 没有被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统是稳定的。反之，如果非线性部分的负倒特性 被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。,如非线性部分的负倒特性 没有被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统是稳定的。反之，如果非线性部分的负倒特性 被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。,描述函数法分析非线性系统稳定性,a) 不顺时针包围 b) 顺时针包围 c) 顺时针部分包围,如果 与 曲线相交，则可能产生自持振荡。 严格地讲，自持振荡不是正弦的，但可以用正弦来近似。 自持振荡的幅值是由交点处 曲线上的A值决定的，而频率是由交点处 曲线上的频率 决定的。,2、非线性系统自持振荡分析,自持振荡分析,【例1】判断图中各自振荡点稳定与否?,3、实例分析,【例2】确定图中非线性系统的自振荡振幅和频率。,图7-22 非线性系统结构图,解：理想继电特性的描述函数为,由于,线性部分的频率特性,根据产生自持振荡的条件,得,解之得,将之代入,得,由,得,例71,已知某位置随动系统的动态结构图如图7-22所示，其中饱和非线性是积分环节达到限幅时形成的。试计算：系统稳定时K的取值范围； 时在初始状态作用下系统自振的振幅和频率。,解,时， ，恰是负倒描述函数特性的起点。 时，开环幅相频率特性与,负倒描述函数特性曲线不相交，非线性系统稳定； 时两曲线相交，交点为自振点，,自振的频率为 ；,时的实频值为 ，负倒描述函数的振幅值满足,解得自振的振幅为 。,【例3】研究如下图所示非线性系统。试判断系统是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。,解： 描述函数为,计算数据表,图7-69 图7-68系统的曲线,系统稳定性分析,图7-72 非线性系统的稳定性分析,非线性系统有不同于线性系统的特性； 描述函数是对非线性系统特性的谐波线性化处理后的近似线性系统的频率特性； 描述函数法应用必须满足四个条件； 描述函数法只能分析系统的稳定性和自持振荡。,7.4 相平面法,相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述,（7-17）,（7-18）,相平面:,描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。,相轨迹:,把具有直角坐标 的平面叫做相平面。,一、等倾线法绘制线性系统的相轨迹,r(t)=0时,相轨迹的初始相点对称于坐标原点，相轨迹也对称于坐标原点，而时间函数对称于横轴。,例子,微分方程,或,等倾线是直线，它的方程为：,取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。,二、相轨迹的特征,1.相轨迹不相交 相轨迹上每一个点都有确定的斜率,2 相轨迹的奇点,在奇点处，系统处于静止状态，又称为平衡点。由于 ，奇点只能出现在横轴上。,满足 的点称为相轨迹奇点。该点处相轨迹的斜率为一个不确定值，因此有无数多条相轨迹通过该点，他们的斜率各不相同。,设系统的微分方程为,系统（7-12）的特征方程为,上述特征方程的根为,式（7-21）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。,（7-21）,取相坐标 、 ，式（7-21）可化为：,或,（7-22）,（1）欠阻尼运动,相轨迹如图所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为 稳定的焦点。,系统欠阻尼运动时的相轨迹,（2）负阻尼运动,相轨迹图如图728所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与上图不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为 不稳定的焦点 。,图7-28,过阻尼时的相轨迹,坐标原点是一个奇点， 这种奇点称为 稳定的节点。,（3）过阻尼运动,系统的相轨迹图如图所示，奇点称为 不稳定的节点。,（4）负阻尼,系统无阻尼运动时的相轨迹,相轨迹的方向如图中箭头所示。 相轨迹垂直穿过横轴。,图中的奇点(0,0)通常称为 中心,（5）无阻尼运动,此时相轨迹如图 所示。奇点称为 鞍点 该奇点是不稳定的 。,（6）鞍点,（1）稳定极限环,（2）不稳定极限环。,（3）半稳定极限环。,极线环也是奇线，是以坐标原点为中心的环状相轨迹。,3. 奇线,将相平面划分成几个不同的区域，各区域的相轨迹只能在自己区域内运动，不能互相穿越。,这类特殊相轨迹称为奇线.,三、由相轨迹求时域响应,