2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题32双曲线及其性质理.docx

专题32 双曲线及其性质一、考纲要求：1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用二、概念掌握和解题上注意点：1.应用双曲线的定义需注意的问题,在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|PF2|间的联系3. 求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.4.与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.三、高考考题题例分析例1.（2018课标卷I）已知双曲线C：y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|=（）AB3C2D4【答案】B【解析】：双曲线C：y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|=3故选：B例2.（2018课标卷II）双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【答案】A例3.（2018课标卷III）设F1，F2是双曲线C：=1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）AB2CD【答案】C【解析】：双曲线C：=1（a0b0）的一条渐近线方程为y=x，点F2到渐近线的距离d=b，即|PF2|=b，|OP|=a，cosPF2O=，|PF1|=|OP|，|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即3a2=c2，即a=c，e=，故选：C 双曲线及其性质练习题一、 选择题 1已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a ()A2BCD1【答案】D【解析】依题意，e2，2a，则a21，a1.2若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于 ()A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.3已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为 ()Ay21Bx21C1D14已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为 ()A1B.1C1D1【答案】A【解析】已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则c4，a2，b212，双曲线方程为1，故选A5双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线x 2y10垂直，则双曲线的离心率为 ()ABCD1【答案】B【解析】由已知得2，所以e，故选B.6已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为 ()A48B24C12D6【答案】B7.若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是 ()A8B9C10D12【答案】B【解析】由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号所以|PF|PA|的最小值为9.8已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A1(y0)B1(x0)C1(y0)D1(x0)【答案】B9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1 () ABCD【答案】A【解析】由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.10已知双曲线1(a0，b0)上一点到两个焦点的距离分别为10和4，且离心率为2，则该双曲线的虚轴长为 () A3B6C3D6【答案】D【解析】由题意得2a1046，解得a3，又因为双曲线的离心率e2，所以c6，则b3，所以该双曲线的虚轴长为2b6，故选D.11.已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆(x2)2y2相切，则该双曲线的离心率为 ()ABCD3【答案】A12过双曲线1(a0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为 ()AB.CD【答案】D【解析】由题意可求得|AB|，所以SOABc，整理得.因此e.二、填空题13过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|_.【答案】4【解析】双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入x20，得y212，y2，|AB|4.14设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为_【答案】10【解析】由双曲线的标准方程为1，得a2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810. 15双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_.【答案】8【解析】因为e，所以ca，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即axby0，焦点为(0，c)，所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8.16在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】yx三、解答题17已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程【答案】1.【解析】椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.18已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：120.【答案】(1) x2y26；(2)见解析【解析】(1)e，可设双曲线的方程为x2y2(0)双曲线过点(4，)，1610，即6，双曲线的方程为x2y26.证法二：由证法一知1(32，m)，2(23，m)，12(32)(32)m23m2，点M在双曲线上，9m26，即m230，120.19已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若，求四边形ANBM的面积. 【答案】(1) 1；(2) 15(2)由(1)得A(5,0)，B(5,0)，|AB|10，设M(x0，y0)，则由得M为BP的