2019版高考数学复习专题十一圆锥曲线的方程与性质讲义理（普通生，含解析）.docx

重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算T8双曲线的几何性质T5双曲线的几何性质T11双曲线的几何性质T11直线的方程及椭圆的几何性质T12直线与抛物线的位置关系T162017直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T10双曲线的几何性质T9双曲线的渐近线及标准方程T5双曲线的几何性质T152016双曲线的几何性质与标准方程T5双曲线的定义、离心率问题T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T11抛物线与圆的综合问题T10(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形式考查，常出现在第412或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第1920题的位置，一般难度较大 保分考点练后讲评1.设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C. D.解析：选D如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，所以.2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于()A8 B4C2 D8解析：选A由题意可知2b4，e，于是a2.2|AB|AF2|BF2|，|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|，得|AB|AF2|AF1|BF2|BF1|4a8.3.过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.解析：设直线AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2，4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：4解题方略圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)注意应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 圆锥曲线的标准方程 保分考点练后讲评大稳定1.已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，渐近线方程为2xy0，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选A易知双曲线1(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2xy0，得2，因为双曲线的焦距为4，所以c2.结合c2a2b2，可得a2，b4，所以双曲线的方程为1.2.若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为，则椭圆的标准方程为_解析：设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由已知得又a2b2c2，椭圆的标准方程为1或1.答案：1或13.若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为_解析：因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P，则P(x0，6)因为P到抛物线焦点F的距离为10，根据抛物线的定义得x010.因为P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，所以抛物线的标准方程为y24x或y236x.答案：y24x或y236x解题方略求解圆锥曲线标准方程的思路定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)小创新1.已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，.又|4，c2a2b2，a22b216.由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1.2.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点若抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A. BC D解析：选B将y1代入y24x，可得x，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k.3.如图，记椭圆1，1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：P到F1(4,0)，F2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；曲线C关于直线yx，yx均对称；曲线C所围区域的面积必小于36；曲线C的总长度不大于6.其中正确命题的序号为_解析：对于，若点P在椭圆1上，则P到F1(4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于，联立两个椭圆的方程得y2x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线yx，yx均对称，故正确；对于，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故正确；对于，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6，故错所以正确命题的序号为.答案： 增分考点深度精研析母题典例(1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.B.C. D.(2)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为，AOB的面积为2，则p()A2 B1C2 D3(3)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2(e为双曲线离心率)的值为_解析(1)如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.(2)不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为，得1e25，解得2，所以双曲线的两条渐近线方程为yx2x.又抛物线的准线方程为x，则交点的坐标为A，B，所以|AB|2p.由AOB的面积为2，得|AB|2，即2p2，解得p2，故选A.(3)如图所示，因为|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|BF2|，所以|BF2|2a，|BF1|4a.所以|AF1|2a，|AF2|2a2a.因为|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，所以(2c)2(2a)2(2a2a)2，所以e252.答案(1)D(2)A(3)52练子题1本例(3)若变为：已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2_.解析：设|F1F2|2c，|AF1|m，因为F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a，所以4a2mm，即m2(2)a.所以|AF2|2am(22)a.因为|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，所以4(2)2a24(1)2a24c2，所以e296.答案：962本例(3)若变为：F1，F2为双曲线的两个焦点，点A在双曲线上，且AF2F1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_解析：注意到|F2A|F1A|，不妨设|F2A|F1A|.因为AF2F1为等腰直角三角形，则|F2A|F1F2|F1A|11.所以e1.答案：13本例(3)中，若双曲线上存在一点P，使得，求双曲线离心率的取值 范围解：如图所示，由得|PF1|，且|PF2|.又由|PF1|ac，可得ac，即e22e10，解得1e1，又因为e1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，1解题方略1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程多练强化1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选Ae，a2b23a2，ba.渐近线方程为yx.2(2018阜阳模拟)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选BF1，F2是椭圆1(a0，b0)的左、右两个焦点，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.3以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.4(2018惠州调研)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故22c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到2直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切题型二直线与圆锥曲线的弦长例2已知椭圆C：y21(a1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围解(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以bc1，即a，所以椭圆C的方程为y21.(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为yk(x1)，与y21联立，得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)，即M.所以线段AB的垂直平分线的方程为y，设点P(xP，yP)，令y0，得xP.因为xP，所以0k2.|AB| .因为0k2，所以12，即|AB|2.故线段AB长度的取值范围是.解题方略直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，则弦长|AB|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB| 求之多练强化已知点M在椭圆G：1(ab0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求PAB的面积解：(1)2a4，a2.又点M在椭圆上，1，解得b24，椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选De，1.双曲线的渐近线方程为xy0.点(4,0)到C的渐近线的距离d2.5已知双曲线x21 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，则|AB|()A2 B3C4 D21解析：选C设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a1，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|2a2，|BF1|BF2|2a2，又|AF1|BF1|，故|AF2|BF2|4，又|AB|AF2|BF2|，故|AB|4.6(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1 B2C. D.1解析：选D在RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，由椭圆的定义可知，方程1中，2a1，2c2，得a，c1，所以离心率e1.二、填空题7已知双曲线y21(a0)的渐近线方程为yx，则其焦距为_解析：由渐近线方程yx，可得，解得a，故c2，故焦距为4.答案：48设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，由题意可知，直线l过焦点，且垂直于x轴，将xc代入双曲线方程，解得y，则|AB|，由|AB|22a，则b22a2，所以双曲线的离心率e.答案：9已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线l的方程为_解析：依题意易得抛物线的方程为y24x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为线段MN的中点为(1,1)，故x1x22，y1y22，则x1x2，由两式相减得yy4(x1x2)，所以2，故直线l的方程为y12(x1)，即2xy10.答案：2xy10三、解答题10(2018石家庄模拟)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x22，故直线AB的斜率k1.(2)由y，得yx.设M(x3，y3)，由题设知x31，于是M.设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(1,1m)，|MN|.将yxm代入y，得x22x2m0.由48m0，得m，x1,21.从而|AB|x1x2|2.由题设知|AB|2|MN|，即，解得m，所以直线AB的方程为yx.11(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.12已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程(2)已知圆O：x2y21，直线l：mxny1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，直线xky30所经过的定点是(3,0)，即点F(3,0)因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a38，a5，所以b2523216，所以椭圆C的方程为1.(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，所以1，即n216.又原点到直线l：mxny1的距离d0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点 (1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p，SABDp21.p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx，由消去y得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，即y，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切2(2018贵阳适应性考试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1k2的值解：(1)由0，得bc.因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|，所以.又a2b2c2，联立，解得a22，b21，故椭圆C的方程为y21.(2)设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1，将ykx2k1代入y21，得(12k2)x24k(2k1)x