2018_2019高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法教案新人教A版.docx

4.1数学归纳法一、教学目标1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题二、课时安排1课时三、教学重点1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题四、教学难点1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题五、教学过程（一）导入新课数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkN Bk1，kNCk1，kN D.k2，kN【解析】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.【答案】C（二）讲授新课教材整理数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 时命题成立；(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法（三）重难点精讲题型一、用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：1.【精彩点拨】要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并【自主解答】当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk(k1，kN)时等式成立，即1，则当nk1时，左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，等式对任意nN成立规律总结：1用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项2利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节再练一题1用数学归纳法证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何nN都成立题型二、用数学归纳法证明整除问题例2用数学归纳法证明：(3n1)7n1能被9整除(nN)【精彩点拨】先验证n1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k1)与f(k)的关系并设法配凑【自主解答】(1)当n1时，原式(311)7127，能被9整除，命题成立(2)假设当nk(kN，k1)时，(3k1)7k1能被9整除，则当nk1时， 3(k1)17k1121(k1)77k1(3k1)(18k27)7k1(3k1)7k19(2k3)7k.(3k1)7k1和9(2k3)7k都能被9整除， (3k1)7k19(2k3)7k能被9整除，即3(k1)17k11能被9整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对任何nN，命题都成立，即(3n1)7n1能被9整除(nN)规律总结：1证明本题时关键是用归纳假设式子(3k1)7k1表示nk1时的式子2用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n) 整除，主要是找到f(k1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k1)f(k)f1(k)f2(k)再练一题2求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除.【证明】(1)当n1时，13(11)3(12)336,36能被9整除，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故nk1时，命题也成立由(1)和(2)可知，对nN命题成立.题型三、证明几何命题例3平面内有n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论【精彩点拨】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明【自主解答】当n2时，f(2)1 ；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)6.因此猜想f(n) (n2，nN)规律总结：下面利用数学归纳法证明：(1)当n2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)2(21)1.n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，当nk1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个，f(k1)f(k)kk，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2时成立1从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系2利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因再练一题3在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明【解】设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)n2(n2)，下面利用数学归纳法证明(1)当n2时，显然成立(2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，f(k)k2.则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1，共k1条直线满足题设条件不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2条射线或线段直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2，当nk1时，结论正确由(1)(2)可知，上述结论对一切n2且nN均成立题型四、数学归纳法的概念例4用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时，左边计算的结果是()A1B1aC1aa2D1aa2a3【精彩点拨】注意左端特征，共有n2项，首项为1，最后一项为an1.【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，所以n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C规律总结：1验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障再练一题4当f(k)1，则f(k1)f(k)_.【解析】f(k1)1，f(k1)f(k).【答案】（四）归纳小结数学归纳法（五）随堂检测1用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1 B13C123 D.1234【解析】当n1时左边所得的代数式为123.【答案】C2某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A当n4时，该命题成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n6时，该命题不成立【解析】若n4时命题成立，由递推关系知n5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n4时，该命题不成立【答案】C3用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nk到nk1”左端需乘以的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.【解析】当nk时，等式为(