湖南省师范大学附属中学2019届高三数学上学期月考试题（五）理（含解析）.docx

湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足 (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简求得，则z对应的点为(2，-1)，即可得到答案.【详解】由题意，复数，则z对应的点为(2，-1)故选D.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简、运算复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设m为给定的一个实常数，命题p：，则“”是“命题p为真命题”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由图命题为真，求得，又由成立时，是成立的，即可得到“”是“命题为真命题”的充分不必要条件，得到答案.【详解】若命题为真，则对任意恒成立，所以，即.因为成立时，是成立的，所以“”是“命题为真命题”的充分不必要条件选A.【点睛】本题主要考查了全称命题的应用，以及充分不必要条件的应用，其中解答中熟记二次函数的性质，求得恒成立时的取值范围，进而利用充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若等差数列的前5项之和，且，则（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】B【解析】试题分析：由题意得，又，则，又，所以等差数列的公差为，所以考点：等差数列的通项公式【此处有视频，请去附件查看】4.已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为，则（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据这7个数的平均数为3，方差为，即，即，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，即，故选B.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记熟记的平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Nr(mod m)，例如133(mod 5)下列程序框图的算法源于我国古代算术中国剩余定理，则执行该程序框图输出的i等于（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】【分析】由题意，根据给定的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，即可得到答案.【详解】由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体，得i2，N18，此时，不满足第一条件；第二次执行循环体，得i4，N22，此时，但2225，不满足第二条件；第三次执行循环体，得i8，N30，此时，不满足第一条件；第四次执行循环体，得i16，N46，此时，且4625，退出循环所以输出i的值为16.选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断条件，逐次循环，准确求解每次循环的运算结果求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，则下列结论正确的是（ ）A. PBADB. 平面PAB平面PBCC. 直线BC平面PAED. 直线CD平面PAC【答案】D【解析】【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB平面PBC，则AH平面PBC，所以AHBC.又PABC，所以BC平面PAB，则BCAB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确若直线BC平面PAE，则BCAE，但BC与AE相交，所以C答案不正确故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直7.在的展开式中，的系数为（ ）A. 320 B. 160 C. 160 D. 320【答案】B【解析】【分析】由题意，可知二项式的展开式中第r1项为，令和，即可求解得系数.【详解】由题意，可知二项式的展开式中第r1项为，令，得r4；令，得r3.在展开式中的系数为.故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解的值，准确运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.若函数 (，)的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，得，得出，即可求解函数的最小正周期，得到答案.【详解】由题设，有，即，得，又，所以，从而，所以，即，又由，所以，于是，故的最小正周期是.选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用三角恒等变换的公式和三角函数的图象与性质，求解的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则 （ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2【答案】B【解析】【分析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，代入目标函数，联立方程组，求解A、B点的坐标，再代入，即可求解.【详解】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，1)，由题意知A，B两点在直线上，所以解得a1，b1.故选B.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用问题，其中解答中正确理解题意，根据目标函数的最值，代入联立方程组求得A、B点坐标是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10.在ABC中，ABC120，AB3，BC1，D是边AC上的一点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，根据向量的数量积，求解 ，即可求解的取值范围.【详解】因为D是边AC上的一点(包括端点)，设 ABC120，AB3，BC1，.的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及平面向量的基本定理的应用，其中合理利用平面向量的数量积的运算公式，化简得到 是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AFBF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到，即可求解椭圆离心率的取值范围.【详解】由题意椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AFBF，所以四边形AFBN为长方形根据椭圆的定义：，由题ABF，则ANF，所以，利用，即椭圆离心率e的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.设平行于x轴的直线l分别与函数和的图象相交于点A，B，若在函数的图象上存在点C，使得ABC为等边三角形，则这样的直线l（ ）A. 至少一条 B. 至多一条 C. 有且只有一条 D. 无数条【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为，求得点、，得到|AB|1，再由CDAB，得点，根据点C在函数的图象上，得到关于的方程，即可求解.【详解】设直线l的方程为，由，得，所以点由，得，所以点，从而|AB|1.如图，取AB的中点D，连接CD，因为ABC为等边三角形，则CDAB，且|AD|，|CD|，所以点.因为点C在函数的图象上，则，解得，所以直线l有且只有一条，选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及根据三角形的性质，合理列出关于实数的方程是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方体的体积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱体的体积，则该几何体的体积.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.14.已知函数的值域为R，则实数a的最大值是_【答案】2【解析】【分析】由题意，当时，由的值域为，则当时，根据对数函数的单调性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当时，.因为的值域为R，则当时，因为在上单调递增，则，即，所以，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查了函数的值域的应用，其中解答中熟记函数的值域的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知点，若圆C：上存在一点P，使得PAPB，则正实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据圆C的方程，设点，由P点到线段AB中点的距离为，可化简得，其中，根据三角函数的性质，即可求解.【详解】圆C的方程化为：，设，如图，线段AB的中点坐标为，P点到线段AB中点的距离为，其中，又，.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及直角三角形的性质和两点间的距离公式的应用，其中解答中根据直角三角形的性质，转化为P点到线段AB中点的距离为，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.16.已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意，数列满足，取倒数可得，即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解.【详解】由题意，数列满足 ，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时，即；当时，因此.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17.在锐角ABC中，.()求角A的大小；()求的取值范围【答案】() () 【解析】【分析】()由题意，化简得，进而求得，即可得到A角的大小； ()由()知，在锐角ABC中，求得，又由三角恒等变换的公式，化简得，利用三角函数的额性质，即可求解.【详解】()由已知，即.在ABC中，因为，则，所以，从而.所以，即.()由()知，在锐角ABC中，则，由,知，所以，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于基础题.18.如图，三棱锥PABC的顶点P在圆柱轴线上，底面ABC内接于O，AB为O的直径，且ABC60，O1OAB4，上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点()设，求证：DO平面PAC；()设，求二面角DACP的余弦值【答案】() 见解析 () 【解析】【分析】解法一：()连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，证得DE平面ABC，得出AC平面DEOO1，进而得DOAC，又在矩形中，证得DOPG，利用线面垂直的判定定理，即可得到DO平面PAC.()由AC平面DEOO1，得DGP即为二面角DACP的平面角，在DGP中由余弦定理，即可求解二面角的余弦值.解法二：()在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，建立空间直角坐标系，证得，得到ACOD，APOD，即可得到DO平面PAC.()分别求得平面PAC和平面DAC的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.【详解】解法一：()连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，因为ABC内接于O，AB为O的直径，所以ABC为直角三角形，又ABC60，AB4，故BC2，因为E是弧AC中点，所以OEAC，.又因为DE平面ABC，故DEAC，所以AC平面DEOO1，故DOAC.又，所以在矩形中，故，又，所以，所以DOPG，所以DO平面PAC.()在轴截面内有POOG1，所以，由AC平面DEOO1，得DGP即为二面角DACP的平面角，在DGP中由余弦定理可求得.解法二：()在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，如图建立空间直角坐标系，因为ABC内接于O，AB为O的直径，所以ABC为直角三角形，又ABC60，AB4，故BC2，AC2，又，所以，所以，所以，故ACOD，APOD，从而DO平面PAC.()由OP1知P(0，0，1)，设平面PAC的法向量为，则有即取，设平面DAC的法向量，则有即取，则，所以二面角DACP的余弦值为.【点睛】点睛：本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立()记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；()现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以()中确定的作为p的值已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用()若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；()以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【答案】()0.2 () () ()8【解析】【分析】()记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.()由()知，()中，依题意知，进而利用公式，即可求解； ()如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.【详解】()记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，由，得.且当时，；当时，.的最大值点.()由()知，()令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，.()如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，由，得，且，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.如图所示，在ABC中，AB2，AB的中点为O，点D在AB的延长线上，且.固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线.以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系()求曲线的方程；()过点的直线l与曲线交于不同的两点S，R，直线SB，RB分别交曲线于点E，F.设，求的取值范围【答案】() (y0）() 【解析】【分析】()依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程； ()设，得到，由，求得当直线SB与x轴不垂直时，设直线SB的方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，化简得，设直线l的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.【详解】()依题意得AB2，设动圆M与边AC的延长线相切于，与边BC相切于，则，.所以 ，所以点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为2的椭圆，且挖去长轴的两个顶点则曲线的方程为.()设，由题意得，则，由，得，即当直线SB与x轴不垂直时，直线SB的方程为，即，代入椭圆方程并整理得，则有，即，于是.当SB与x轴垂直时，点S的横坐标为1，1，显然成立同理可得.设直线l的方程为，代入椭圆方程并整理，得，依题意有解得又，则.由，得，即【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数有两个不同的极值点()求实数a的取值范围；()设，讨论函数的零点个数【答案】() () 当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点【解析】【分析】()由题意，求得，令，得，设，转化为直线ya与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；()由()可知，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】()由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点令，则，即.设，则直线ya与函数的图象有两个不同的交点因为，由，得ln x0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.因为当时，；当时，；当时，所以a的取值范围是()因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标由()可知，且，因为当或时，即；当时，即，则在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为，极大值点为.当时，因为，则，所以在区间内无零点因为，则当，即时，.又，则，所以.此时在和内各有1个零点，且.当，即时，此时在内有1个零点，且.当，即时，此时在内无零点，且.综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化