2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入复习提升课学案.docx

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习提升课复数的概念问题展示（教材P116复习参考题A组T2）已知复数z与（z2）28i都是纯虚数，求z.【解】因为z是纯虚数，所以设zbi（b0，bR）.则（z2）28i（2bi）28i44bib2i28i（4b2）（4b8）i因为（z2）28i也是纯虚数，所以所以b2.所以z2i.复数z满足（z2）28i，求复数z.【解】设zxyi，x，yR，所以（xyi2）28i，即（x2）2y22（x2）yi8i，所以解得或所以z2i或z42i.复数z满足（z2）28i是纯虚数.求|z|的最小值.【解】设zxyi（x，yR），则（z2）28i（x2yi）28i（x2）2y22（x2）y8i.因为（z2）28i是纯虚数，所以由得，y2（x2）2，所以|z|2x2y2x2（x2）22x24x42（x1）22.所以当x1，y1时，满足式，此时，|z|2的最小值为2，即|z|min.复数的几何意义问题展示（教材P112习题3.2A组T3）ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13i，i，2i，求点D对应的复数.【解】由复数的几何意义知，A，B，C分别对应复平面内点（1，3），（0，1），（2，1）.又因为四边形ABCD是平行四边形，所以.设D（x，y），则有（1，4）（2x，1y），所以解得故点D对应的复数为35i.在复平面上，A，B，C，D四点对应的复数分别为13i，i，2i，35i，则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.梯形C.正方形 D.平行四边形【解析】因为（0，1）（1，3）（1，4），（3，5）（1，3）（2，2），（2，1）（0，1）（2，2）.所以，（1，4）（2，2）100.所以ABCD仅为平行四边形，故选D.【答案】D【拓展1】在复平面xOy中，四边形ABCD的点B，D对应的复数分别为i与35i，A，C两点在直线2xy50上，且A、C两点对应的复数zA与zC的实部和虚部都是正整数.（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）计算：zAzC与.【解】（1）证明：设zAabi，zCcdi，且a，b，c，dN*，zAzC，因为A、C两点都在直线2xy50上，所以（a，b）与（c，d）是方程2xy50的正整数解对应的有序数对（x，y）.由2xy50得y52x0，所以x，又xN*，所以当x1时，y3，当x2时，y1.所以（x，y）（1，3）或（2，1）.所以zA13i，zC2i或zA2i，zC13i.当zA13i，zC2i时，（3，5）（1，3）（2，2），（2，1）（0，1）（2，2），所以，又A，B，C，D不共线，所以ABCD是平行四边形.当zA2i，zC13i时，（3，5）（2，1）（1，4），（1，3）（0，1）（1，4）.所以，又A，D，B，C不共线，所以ABCD是平行四边形.（2）由（1）可知zAzC（2i）（13i）26ii3i217i.当zA13i，zC2i时，1i.当zA2i，zC13i时，i.【拓展2】在复平面上，正方形ABCD的顶点A、B、C、D按逆时针方向排列.A，B对应的复数分别为13i与i.（1）求C、D分别对应的复数zC与zD.（2）设与对应的复数分别为z1与z2，求.【解】（1）设zCabi，zDcdi，a，b，c，dR，所以（0，1）（1，3）（1，4），（a，b）（0，1）（a，b1），因为ABCD是正方形，所以0，且|.即（1，4）（a，b1）0.且，所以解得或当a4，b0时，A、B、C的顺序是顺时针排列，舍去.当a4，b2时，A、B、C的顺序是逆时针排列.此时，zC42i，由得（c，d）（1，3）（4，2）（0，1），即（c，d）（4，2）（0，1）（1，3）（5，2）.所以zD52i.（2）由（1）得z1（42i）（13i）35i，z2（52i）（i）53i.i.所以ii2i2 017i.复数的运算与参数问题问题展示（教材P116复习参考题B组T3）已知复数z1m（4m2）i（mR），z22cos （3sin ）i（，R），并且z1z2，求的取值范围.【解】由z1z2得m（4m2）i2cos （3sin ）i，由复数相等的定义知，必有得44cos23sin .所以44cos23sin 44（1sin2）3sin 4sin23sin 44.因为sin 1，1，所以max47，min.故.已知复数z1m（4m2）i（mR），z22cos （73sin ）i.若z1z2.求证：z1在复平面上对应的点Z在虚轴上.【证明】因为z1z2，由复数相等的定义得代入得44cos273sin .所以4sin23sin 70.解得sin 1或sin （舍去）.所以cos 0，即m0.所以z14i，即z1对应的点Z在虚轴上. 1.已知复数z（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选C.因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.2.已知复数z12ai（aR），z212i，若为纯虚数，则|z1|（）A. B.C.2 D.解析：选D.由于为纯虚数，则a1，则|z1|，故选D.3.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（）A.z为纯虚数B.z2n0（nZ）C.对于任意的zC，|z|D.满足z的z仅有一个解析：选C.当z0时，z0R，所以选项A错误；当zi，n1时，z2ni210，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|，所以选项C正确；当zi或i时均满足z，故选项D错误.4.复数z2cos （3sin ）i的模的最大值为.解析：