高等数学(第三版)1-3数列的极限.ppt

第二节 数列的极限,一、概念的引入,二、数列与极限的定义,三、数列极限的性质,有很多实际问题的精确解，仅仅通过有限次 的算术运算是求不出来的 ，而必须通过分析一个 无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了 极限概念和极限方法。例如，我国古代数学家刘 徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,公元3世纪刘徽（约225-295）,公元5世纪祖冲之（约225-295）,最新成果,_,2、截丈问题：,“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,二、数列与极限的定义,例如,注意：,2.数列对应着平面上一个点列.可看作一动点在平面上依次取,1.数列是函数,数列的几何意义,对于数列,我们不能写出它的所有各项,因此 有必要考察它的变化趋势,对于简单的例子而言，根据上面给出的极限 概念，可以凭观察来判断它们是否存在极限。但 是数列并非总是这样简单的，仅凭观察来判断数 列的变化趋势很难做到总是准确，特别是在进行 涉及到极限的论证时，更不能以观察的结果作为 推理的依据。因为在定义中怎样才算“无限增大” 和“无限接近”是不清楚的。因此有必要寻求精确 的数学语言来对数列的极限加以定义，以便可对 数列的极限进行严格的验证。,播放,问题： “无限增大” “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,极限的直观定义,直观结论,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注1.,注2.,注3.,几何解释:,直观定义,严格定义,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法, 但我们可以用定义来证明极限的存在。,例1,证,所以,于是按极限定义得,注意: 关键是找N,一旦N找到，就证明完了,例2,证,于是按极限定义得,例2(备用),证,于是按极限定义得,例3,证,要使,只要,即,亦即,因此,于是按极限定义,美国的一套著名的微积分教材中 告诉学生，如果弄不懂这样的定义， “就像背一首诗那样把它背下来！这样做， 至少比把它说错来得强”,四、数列极限的性质,1、有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,虽有界但不收敛 .,数列,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,2、唯一