高考数学-立体几何大题30题.doc

立体几何大题1如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，ACB90，AC4cm，CD是斜边上的高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1题图ABCD第1题图（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你的结论（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB4cm，则二面角ACDB为直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB的平面角（2）取ABC的中心P，连DP，则DP满足条件 ABC为正三角形，且 ADBDCD 三棱锥DABC是正三棱锥，由P为ABC的中心，知DP平面ABC， DP与平面内任意一条直线都垂直（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为 2如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AFA1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（）求证：D1B平面AEC；（）求三棱锥BAEC的体积；（）求二面角BAEC的大小.证（）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂线定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解（）VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB的长为E点到平面ABC的距离.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABCEB =33 = （10分） 解（）连CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC为二面角BAEC的平面角，在RtABE中，BF =，在RtCBF中，tgBFC =， BFC = arctg.ABCA1B1C1M第3题图即二面角BAEC的大小为arctg. 3如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（）求点B到平面AMC1的距离；（）求二面角MAC1B的正切值.答案：（I）证明：AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，AMMC1且AM=MC1在正三棱柱ABCA1B1C1中，有CC1底面ABC.C1M在底面内的射影为CM，由三垂线逆定理，得AMCM.底面ABC是边长为1的正三角形，点M为BC中点.（II）解法（一） 过点B作BHC1M交其延长线于H. 由（I）知AMC1M，AMCB， AM平面C1CBB1. AMBH. BH平面AMC1. BH为点B到平面AMC1的距离. BHMC1CM. AM=C1M= 在RtCC1M中，可求出CC1 解法（二）设点B到平面AMC1的距离为h.则由（I）知 AMC1M，AMCB，AM平面C1CBB1AB=1，BM= （III）过点B作BIAC1于I，连结HI. BH平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.HIAC1，BIH为二面角MAC1B的平面角.在RtBHM中，AMC1为等腰直角三角形，AC1M=45.C1IH也是等腰直角三角形.由C1M= 4如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点 （）求证：AF平面BCE；（）求多面体ABCDE的体积；（）求二面角C-BE-D 的正切值 证：（）取CE中点M，连结FM，BM，则有四边形AFMB是平行四边形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE （）由于DE平面ACD，则DEAF又ACD是等边三角形，则AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，则BM平面CDE （）设G为AD中点，连结CG，则CGAD由DE平面ACD，平面ACD，则DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，连结CH，则CHBECHG为二面角C-BE-D的平面角 由已知AB=1，DE=AD=2，则，不难算出，5已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（）求证：MNAB；（）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大小；（）在（）的条件下，求三棱锥DAMN的体积.（）连结AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BCPB. 又BN是RtPBC斜边PC的中线， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，则AN是RtPAC斜边PC的中线，即 又M是AB的中点， （也可由三垂线定理证明） （）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC. 则PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DNPC 又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中点，则必有PM=MC. 此时.即二面角PCDA的大小为 （），连结BD交AC于O，连结NO，则NO PA. 且NO平面AMD，由PA=aABCDPA1B1C1D1第6题图MN. 6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。 （I）求二面角B1MNB的正切值； （II）证明：PB平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。 解：（I）连接BD交MN于F，则BFMN， 连接B1F B1B平面ABCD B1FMN 2分 则B1FB为二面角B1MNB的平面角 在RtB1FB中，设B1B=1，则 4分 （II）过点P作PEAA1，则PEDA，连接BE 又DA平面ABB1A1，PE平面ABB1A1 又BEB1M PBMB1 又MNAC，BDAC，BDMN 又PD平面ABCD PBMN，所以PB平面MNB1 11分 （III），符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：7如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （I）证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD （II）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN的大小为. （III）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成的角的大小为 8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB1BC1；（II）求二面角BAB1C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.（1）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1， 四边形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 （2）解：设BC1B1C=O，作OPAB1于点P，连结BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根据三垂线定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C的大小为 （3）解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.BC1平面AB1C， 线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.点A1到平面AB1C的距离为 解法2连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.B1C1平面ACC1A1， ，又， 点A1到平面AB1C的距离为 9在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1EBC1交CC1于点E ()求证：AC1平面B1D1E； ()求三棱锥C1B1D1E1的体积； ()求二面角EB1D1C1的平面角大小(1)证明：连接A1C1交B1D1于点OABCDA1B1C1D1是长方体AA1平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影AB=BC，A1C1B1D1，根据三垂线定理得：AC1B1D1； AB平面BCC1B1，且BC1B1E，AC1B1EB1D1B1E=B1，AC1平面B1D1E1 (2)解：在RTBB1C1中，在RTEC1B1中，C1E=B1C1tgC1B1E=B1C1ctgBC1B1=2， VC1B1D1E = VD1B1C1E = (3)解：连接OE，B1C1E1 D1C1E1 ， B1E=D1EO是B1D1中点， B1D1OE，C1OE是二面角EB1D1C1的平面角 在RTOC1E中，所以，二面角EB1D1C1的平面角为， 10在矩形ABCD中，AB4，BC3，E为DC的中点，沿AE将AED折起，使二面角DAEB为60（）求DE与平面AC所成角的大小；（）求二面角DECB的大小ADBCEABCED第10题图答案：如图1，过点D作DMAE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DMAE，MNAE保持不变，翻折后，如图2，DMN为二面角DAEB的平面角，DMN60，AE平面DMN，又因为AE平面AC，则AC平面DMN （）在平面DMN内，作DOMN于O，平面AC平面DMN，DO平面AC连结OE，DOOE，DEO为DE与平面AC所成的角如图1，在直角三角形ADE中，AD3，DE2，如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，则DE与平面AC所成的角为 （）如图2，在平面AC内，作OFEC于F，连结DF，DO平面AC，DFEC，DFO为二面角DECB的平面角如图1，作OFDC于F，则RtEMDRtOFD，如图2，在RtDOM中，OMDMcosDMODMcos60如图1，在RtDFO中，二面角DECB的大小为 11直三棱柱ABCA1B1C1中，ACCBAA12，ACB90，E是BB1的中点，DAB，A1DE90.（）求证：CD平面ABB1A1；（）求二面角DA1CA的大小.（）解：12如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影ABB1C1A1DC恰为AC的中点D，BA1AC1。（I）求证：BC平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离（III）求二面角BAA1C的正切值 解：答案：如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BA1AC1。（I）求证：BC平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离（III）求二面角BAA1C的正切值 解：（1）由题意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1（II）过D作DHAB于H，又A1D平面ABC，ABA1HA1H是H1到AB的距离BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1CAC1 A1ACC1是菱形 A1A=AC=a, A1D=.13如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因FN/HC，则HMCFMK，因H为BC中点BC=AB=2，则KN=，则HM=，在RtHCC1，HC2=HMHC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（），D（），E（0，0，h），由CFDE，得，解得h=2. （2）连CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，连CG，由三垂线定理得CGAF，所以CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，从而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小为arctan.14.已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，M、N分别是AD、PB的中点。（）求证：平面MNC平面PBC；（）求点A到平面MNC的距离。解：（I）连PM、MB PD平面ABCD PDMD1分PM=BM 又PN=NB MNPB3分得NCPBPB平面MNC5分 平面PBC平面MNC平面PBC6分（II）取BC中点E，连AE，则AE/MCAE/平面MNC，A点与E点到平面MNC的距离相等7分取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN BN平面MNC EF平面MNC，EF长为E点到平面MNC的距离9分 PD平面ABCD，BCDC BCPC. 即点A到平面MNC的距离为12分15如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （）求证：直线BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积. （）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D.（）解：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为60 （）解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1的体积为16如图，正三棱柱ABCA1B1C1，BC=BB1=1，D为BC上一点，且满足ADC1D.（I）求证：截面ADC1侧面BC1；（II）求二面角CAC1D的正弦值；（III）求直线A1B与截面ADC1距离.（I）由题知：4分I（II）故CEF为二面角CAC1D的平面角6分在RtC1CD中，求出8分（III）A1B面AC1D，设B到面ADC1距离为d10分12分注：其他证法相应给分17如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，ADBC，ABC90，且，又PA平面ABCD，AD3AB3PA3a。 （I）求二面角PCDA的正切值； （II）求点A到平面PBC的距离。解：（1）在底面ABCD内，过A作AECD，垂足为E，连结PE PA平面ABCD，由三垂线定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角2分 在中， 4分 在中， 二面角PCDA的正切值为6分 （II）在平面APB中，过A作AHPB，垂足为H PA平面ABCD，PABC 又ABBC，BC平面PAB 平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离10分 在等腰直角三角形PAB中，所以点A到平面PBC的距离为12分18直角梯形ABCD中，BCAD，ADAB，VA平面ABCD。 （1）求证：VCCD。 （2）若，求CV与平面VAD所成的角。（1）连结AC 取AD中点G，连CG，则ABCG为正方形 又 （4分） VA平面ABCD，DCAC 由三垂线定理：VCCD（6分） （2）连VG，由面VAD 是CV与平面VAD所成的角（9分） CV与平面VAD所成角为（12分）19如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. （）求证：EM平面A1B1C1D1； （）求二面角BA1NB1的正切值.（A）（）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1FE为A1B中点EF BB12分又M为CC1中点 EF C1M四边形EFC1M为平行四边形 EMFC1 4分而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .EM平面A1B1C1D16分（）由（）EM平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N A1N/ EM/ FC1 N为C1D1 中点过B1作B1HA1N于H，连BH，根据三垂线定理 BHA1NBHB1即为二面角BA1NB1的平面角8分设AA1=a， 则AB=2a， A1B1C1D1为正方形A1H= 又A1B1HNA1D1B1H=在RtBB1H中，tanBHB1= 即二面角BA1NB1的正切值为12分（B）（）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a0)，则A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）2分E为A1B的中点，M为CC1的中点 E（2a , a , ），M（0，2a, ）EM/ A1B1C1D1 6分（）设平面A1BM的法向量为=（x, y , z ）又=（0，2a , a ） 由，得9分而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则又：二面角为锐二面角 ，11分从而12分20如图，PA平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.（）求证：AF平面PCE；（）若二面角PCDB为45，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离.（）取PC中点M，连结ME、MF. ，即四边形AFME是平行四边形，2/；。分AF/EM，AF平在PCE，AF平面PCE.4分（）PA平面AC，CDAD，根据三垂线定理知，CDPD PDA是二面角PCDB的平面角，则PDA=456分 于是，PAD是等腰直角三角形，AFPD，又AFCDAF面PCD.而EM/AF, EM面PCD.又EM平面PEC, 面PEC面PCD.8分在面PCD内过F作FHPC于H，则FH为点F到平面PCE的距离.10分由已知，PD=2，PF=PFHPCD 12分21如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因FN/HC，则HMCFMK，因H为BC中点BC=AB=2，则KN=，则HM=，在RtHCC1，HC2=HMHC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（），D（），E（0，0，h），由CFDE，得，解得h=2. （2）连CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，连CG，由三垂线定理得CGAF，所以CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，从而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小为arctan.22如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AEBFx（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；（3）（理科做）求异面直线与所成的角的取值范围（1），当时，三棱锥的体积最大（2）取EF中点O，由，所以就是二面角的平面角在Rt中（3）在AD上取点H使AHBFAE，则，所以（或补角）是异面直线与所成的角在Rt中，在Rt中，在RtHAE中，在中，因为，所以，23 已知，如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BGGC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积为.（）求异面直线GE与PC所成的角；（）求点D到平面PBG的距离；（）若F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值.解法一： （I）由已知PG=42如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系oxyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）异面直线GE与PC所成的角为arccos4（II）平面PBG的单位法向量点D到平面PBG的距离为8（III）设F（0，y , z）在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，则12解法二： （I）由已知PG=42在平面ABCD内，过C点作CH/EG交AD于H，连结PH，则PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.3在PCH中，由余弦定理得，cosPCH=异面直线GE与PC所成的角为arccos4（II）PG平面ABCD，PG平面PBG平面PBG平面ABCD在平面ABCD内，过D作DKBG，交BG延长线于K，则DK平面PBGDK的长就是点D到平面PBG的距离6在DKG，DK=DGsin45=点D到平面PBG的距离为8（III）在平面ABCD内，过D作DMGC，M为垂足，连结MF，又因为DFGCGC平面MFD， GCFM由平面PGC平面ABCD，FM平面ABCD FM/PG由GMMD得：GM=GDcos45=101224如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求：（I）CM与D1N所成角的余弦值；（II）异面直线CM与D1N的距离解：（I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，1则C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N （2，2，1），（2，2，1），（2， 2，1），3设CM与D1N所成的角为，则cos0为钝角，CM与D1N所成的角为，即cos（解法2：设CM与D1N所成的角为，则cos）6（II）取DD1的中点E，分别连接EM、EB，则EMBC，EBD1N，B、C、E、M共面且D1N平面BCEM，D1到平面BCEM的距离d等于异面直线CM与D1N的距离， 8、（）2310、即SBCEMd而SBCEMBMBC2d 12、解法2： 设，的法向量为（x，y，z）则，取（0，1，2）8异面直线CM与D1N的距离d 1225如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （I）证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD3分AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD.5分 （II）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角.7分PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .10分即二面角PAMN的大小为. （III）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.12分CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成的角的大小为15分26如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为的重心（1）求证：；（2）若二面角CABD的大小为，求点C1到平面A1B1D的距离；（3）若点C在上的射影正好为M，试判断点C1在的射影是否 为N？并说明理由解：（1）连结并延长，分别交于，连结，分别为的重心，则分别为的中点在直三棱柱中，（2）连结即为二面角的平面角在中，PQ 连结同上可知，设（3）PQCC1DNM .（另解）9(B)空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。（1） 设，依题意有： 因为M、N分别为的重心所以 （2） 因为平面ABC的法向量， 设平面ABD的法 向量 令，设二面角CABD为，则由因此 设平面A1B1D的法向量为，则设C1到平面A1B1D的距离为，则（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则 即（舍） 因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。27在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角ABDC大小记为。BAPCFDOEPAECDFB（1） 求证：面AEF面BCD；（2） 为何值时，ABCD。（1）证明：在RtABC中，C=30，D为AC的中点，则ABD是等边三角形又因E是BD的中点， BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E， BD面AEF BD面BCD，面AEF面BCD。（2）过A作AP面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则ABD是边长为1的等边三角形，若ABCD，则BQCDPE=AE=又AE=折后有cosAEP=由于AEF=就是二面角ABDC的平面角，当=arccos时，ABCD28如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1