浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.1函数及其表示讲义（含解析）.docx

3.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解函数、映射的概念2.了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)3.了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型？提示(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数ytanx的定义域为.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(4)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(5)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(6)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2P74T7(2)函数f(x)log2(6x)的定义域是_答案3,6)3P25B组T1函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知f(x)若f(a)2，则a的值为()A2B1或2C1或2D1或2答案B解析当a0时，2a22，解得a2；当a0时，a232，解得a1.综上，a的值为1或2.故选B.5已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为_答案2解析当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，无解，所以x02.6若有意义，则函数yx26x7的值域是_答案1，)解析因为有意义，所以x40，即x4.又因为yx26x7(x3)22，所以ymin(43)22121.所以其值域为1，)题型一函数的概念1若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案B解析A中函数的定义域不是2,2，C中图象不表示函数，D中函数值域不是0,2，故选B.2有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数，故不正确；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故正确；对于，由于f0，所以ff(0)1，故不正确综上可知，正确的判断是.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例1 (1)(2018浙江名校协作体联考)函数f(x)lg (1)的定义域为()A(2,3) B(2,3 C2,3) D2,3答案C解析由得2x3，所以函数f(x)lg(1)的定义域为2,3)，故选C.(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x)的定义域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018答案B解析使函数f(x1)有意义，则0x12018，解得1x2017，故函数f(x1)的定义域为1，2 017所以函数g(x)有意义的条件是解得1x1或1x2017.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 017引申探究本例(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 018”，改为“函数f(x1)的定义域为0,2 018，”则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 016解析由函数f(x1)的定义域为0,2 018得函数yf(x)的定义域为1,2 017，令则2x2016且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 016命题点2已知函数的定义域求参数范围例2 (1)若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立，当m0时，显然满足条件；当m0时，由(4m)24m30，得0m，由得0m.(2)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解跟踪训练1 (1)函数f(x)(a0且a1)的定义域为_答案(0,2解析由0x2，故所求函数的定义域为(0,2(2)已知函数yf(x21)的定义域为，则函数yf(x)的定义域为_答案1,2解析yf(x21)的定义域为，x，x211,2，yf(x)的定义域为1,2(3)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_答案0,4解析当m0时，f(x)的定义域为一切实数；当m0时，由得01的x的取值范围是_答案解析由题意知，可对不等式分x0,0x，x三段讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当0x时，原不等式为2xx1，显然成立当x时，原不等式为2x1，显然成立综上可知，x的取值范围是.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值；求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练3 (1)(2018宁波期末)函数f(x)则f(f(2)等于()A2B1C212D0答案B解析f(f(2)ff(0)2021，故选B.(2)已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_答案(1,3)解析由题意知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a3.1函数y的定义域是()A1,0)(0,1) B1,0)(0,1C(1,0)(0,1 D(1,0)(0,1)答案D解析由题意得解得1x0或0x1.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)2(2018浙江嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是()Af(x)lgx2，g(x)2lgxBf(x)，g(x)Cf(x)x0，g(x)1Df(x)2x，g(t)t答案D解析A，B，C中函数的定义域不同，故选D.3(2018浙江五校第二次联考)已知函数f(x)则f(2)f(4)等于()A.B.C87D.答案B解析由题意可得，f(2)f(4)3244.故选B.4已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.答案B解析由已知得12x10，解得1x，所以函数f(2x1)的定义域为.5(2019浙江部分重点中学调研)已知函数f(x)则函数f(x)的值域为()A1，) B(1，)C.DR答案B解析当x1时，f(x)x22(1，)；当x1时，f(x)2x1.综上可知，函数f(x)的值域为(1，)故选B.6(2018浙江知名重点中学考前热身联考)设函数f(x)若f(f(0)4，则b等于()A2B1C2D1答案C解析f(0)b，当b1，即b1时，f(b)3b4，得b(舍去)，当b1，即b1时，2b4，得b2.7.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件，故选A.8设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)答案C解析若a0，则f(a)1等价于a71等价于a3，故3a0；若a0，则f(a)1等价于1，解得a1，故0a1.综上可得3a1.故选C.9已知f，则f(x)_.答案x2x1(x1)解析f21，令t(t1)，则f(t)t2t1，即f(x)x2x1(x1)10(2016浙江)设函数f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.答案21解析由已知可得：f(x)f(a)x33x21a33a21x33x2a33a2.而(xb)(xa)2x3(2ab)x2(a22ab)xa2b，则结合a0解得a2，b1.11定义新运算“”：当mn时，mnm；当mn时，mnn2.设函数f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数f(x)的值域为_答案2,0(4,60解析由题意知，f(x)当x1,2时，f(x)2,0；当x(2,4时，f(x)(4,60，故当x1,4时，f(x)2,0(4,6012(2018浙江名校新高考研究联盟四联)已知函数f(x)若存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，求x1f(x2)的取值范围解函数f(x)的图象如图所示，若存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，由图象可得x11,2f(x2)，所以1x1f(x2).13(2018浙江温州中学月考)将函数y1的图象绕原点按顺时针方向旋转角得到曲线C.若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则的取值范围是_答案解析画出函数y1的图象如图，结合图象可以看出当该函数的图象绕原点O顺时针旋转的角大于或等于0而小于时所得曲线都是一个函数的图象，故应填.14(2018宁波模拟)定义maxa，b已知函数f(x)max|2x1|，ax2b，其中a0，bR，若f(0)b.(1)求实数b的取值范围；(2)若f(x)的最小值为1，求ab的值解(1)由题意得f(0)max1，b，若f(0)b，则b1.(2)解不等式|2x1|1，得x1或x0.所以若f(x0)1，x00,1，当x0,1时，要使f(x)的最小值为1，只需ax2b的最小值为1，因为a0，所以由函数yax2b的图象(图略)知ax2b在x1时取得最小值1，即ab1.15(2015浙江)存在函数f(x)满足：对于任意xR，都有()Af(sin2x)sinxBf(sin2x)x2xCf(x21)|x1|Df(x22x)|x1|答案D解析在A中，令x0，得f(0)0；令x，得f(0)1，与函数的定义不符，故A错在B中，令x0，得f(0)0；令x，得f(0)，与函数的定义不符，故B错在C中，令x1，得f(2)2；令x1，得f(2)0，与函数的定义不符，故C错在D中，变形为f(|x1|21)|x1|，令|x1|21t，得t1，|x1|，从而有f(t)，显然这个函数关系在定义域1，)上是