椭圆的标准方程及其几何性质.doc

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线 3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（0，2）和（0,2）且过（,）(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(5)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 所以所求椭圆标准方程为 2 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，又所以所求标准方程为 另法： 可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程(3)椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： ，2c=6.所求椭圆的方程为：.(4)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.所求椭圆方程为： （5）椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：（，）在椭圆上，.又P到它较近的一焦点的距离等于2，c（），故c=8.所求椭圆的标准方程是.题2。已知B，C是两个定点，BC6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得所以顶点A的轨迹方程为 （0）（特别强调检验) 因为A为ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明0的条件题3。在ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求ABC的重心轨迹方程.分析：以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=39=26.根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为 (0) 题4。已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 因为点为椭圆上的点，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 题5。长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 因为，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 题6。已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： 上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 解 已知圆可化为：圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，故动圆圆心M的轨迹方程是： 题7。ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A的坐标为.依题意得 ，顶点A的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去.题8P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P解：由题意，得64，P的坐标为，题9椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证证明：由题意，得 2题10设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为,()，焦半径是圆的直径，则由知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切题11。已知椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且120，求.选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设4， 2c=2， 椭圆的方程为.（）设，则60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故题12. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2=（）2，将m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或x2+=1.题13. 直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则+=1， +=1. ，得+=0.=.又M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2.直线l的斜率为.直线l的方程为y1=（x1），即3x+4y7=0.题14。已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式解析（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得 故椭圆的离心率为，其标准方程为： （2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 题15。设x、yR，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，点M（x，y）到两个定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和为8.轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.解法二：由题知，+=8，移项，得=8，两边平方，得x2+（y+2）2=x2+（y2）216+64，整理，得2=8y，两边平方，得4x2+（y2）2=（8y）2，展开，整理得+=1.（2）l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.=+=0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此时，=（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即=0.=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=.存在直线l：y=x+3，使得四边形OAPB是矩形.椭圆作业班级：_姓名：_题16。选择题1. 已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用椭圆的定义易知B正确.答案：B2. 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|等于A. B. C. D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F1，左焦点为F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P.+y2=1，a=2，b=1，c=.F1（，0）.设P（，yP）代入+y2=1，得yP=，P（，），|PF1|=.又|PF2|+|PF1|=2a=4，|PF2|=4|PF1|=4=.3. 设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为A. 1 B.2 C. D.解析：易知圆F2的半径为c，（2ac）2+c2=4c2，（）2+2（）2=0，=1.答案：A4. 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=75. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D题17、填空题1. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=_。解析的周长为，=82. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析：椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k0，0k1.答案：0k13. 椭圆+=1的离心率是_，准线方程是_.解析：由椭圆方程可得a=5，b=3，c=4，e=，准线方程为x=.答案： x=4. 已知P是椭圆1（ab0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求答案：15. 点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_.解析：利用第二定义.答案：6. 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率_.剖析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：设椭圆方程为+=1（ab0），F1（c，0），c2=a2b2，则P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.7. 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_解析由椭圆的对称性知： 题18. 求椭圆的标准方程1. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.2. 已知方程,讨论方程表示的曲线的形状解析当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当时，方程表示圆心在原点的圆，当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆3. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.解析 ，所求方程为+=1或+=1.4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a=2c，b=c，又ac=，解得a2=12，b2=9.所求椭圆的方程是+=1或+=1.题19。已知实数满足,求的最大值与最小值【解题思路】 把看作的函数 解析 由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6题20。椭圆上的点到直线l:的距离的最小值【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 解析在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：题21。已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程解析直线l的方程为：由已知由得：，即由得：故椭圆E方程为题22。已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。解析（1）点是线段的中点 是的中位线又 椭圆的标准方程为=1 （2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 题23。已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解析 ()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是.椭圆的标准方程是()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得, 有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以,即所以,即得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 题24。如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角