2019届高考数学专题7立体几何第2讲综合大题部分真题押题精练文.docx

第2讲综合大题部分1. (2018高考天津卷)如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD2，BAD90.(1)求证：ADBC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值解析：(1)证明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC.(2)如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，所以MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DM.因为AD平面ABC，所以ADAC.在RtDAN中，AN1，故DN.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)如图，连接CM.因为ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CMAB，CM.又因为平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，而CM平面ABC，故CM平面ABD，所以CDM为直线CD与平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4.在RtCMD中，sinCDM.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.2(2018高考北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明：(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.3(2017高考全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解析：(1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又APPDP，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.4. (2017高考全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解析：(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD， ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.1. 在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC.(1)求证：平面EBC平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，且3EMEC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：EC，CD2，ED1.EC2CD2ED2，EDDC.又四边形ADEF是正方形，所以ADDE，又ADDCD，所以ED平面ABCD.又BC平面ABCD，所以EDBC.在梯形ABCD中，过点B作BHCD于点H，故四边形ABHD是正方形，所以ADB45，BD.在RtBCH中，BHCH1，所以BC，故BD2BC2DC2，所以BCBD.因为BDEDD，BD平面EBD，ED平面EBD，所以BC平面EBD，又BC平面EBC，所以平面EBC平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T，使得MT平面BDE，此时3BTBC.连接MT，在EBC中，因为，所以MTEB.又MT平面BDE，EB平面BDE，所以MT平面BDE.2如图，正方形ABCD的边长为4，ABAEBFEF，ABEF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD底面AEFB，G是EF的中点，如图.图图(1)求证：DE平面AGC；(2)求证：AG平面BCE.证明：(1)由已知ABDCEF，又ABDCEF，G是EF的中点，所以CD綊EG，所以四边形DCGE是平行四边形，所以DECG.因为DE平面AGC，CG平面AGC，所以DE平面AGC.(2)连接BG(图略)，因为BCAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BCAG.因为AB綊EG，ABAE.所以四边形ABGE为菱形，所以AGBE.又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE.3. 如图，在直三棱柱ADFBCE中，ABBCBE2，CE2.(1)求证：AC平面BDE；(2)若点K在线段BE上，且EK，求三棱锥KBDF的体积解析：(1)证明：在直三棱柱ADFBCE中，AB平面BCE，所以ABBE，ABBC.又ABBCBE2，CE2，所以BC2BE2CE2，且ACBD，所以BEBC.因为ABBCB，所以BE平面ABCD.因为AC平面ABCD，所以BEAC.因为BDBEB，所以AC平面BDE.(2)由(1)可得，AD平面ABEF，因为ABBCBE2，EK，所以SKBF2，所以VKBDFVDKBFSKBFDA2.4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上(1)求证：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中点，求证：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，试求的值解析：(1)证明：由E是AD的中点，PAPD可得ADPE.又底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD，又E是AD的中点，所以ADBE，又PEBEE，所以AD平面PBE.(2)证明：连接AC，交BD于点O，连接OQ