立体几何100题.doc

立体几何100题1.如图，三角形中，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点. （1）求证：底面； （2）求几何体的体积. 2在三棱锥中， 和是边长为的等边三角形， ， 分别是的中点. （1）求证： 平面；（2）求证: 平面；（3）求三棱锥的体积.3如图，在直三棱柱中， ， ，点分别为的中点. （1）证明： 平面；（2）若，求三棱锥的体积.4如图，在三棱柱中， 平面，点是与的交点，点在线段上，平面.（1）求证：；（2）若,求点到平面的距离. 5如图，四棱锥中，底面是直角梯形， ， 是正三角形， 是的中点（1）求证： ；（2）判定是否平行于平面，请说明理由 6如图，在四棱锥中，侧面底面， ， ， ， ， 分别为， 的中点（1）求证： 平面；（2）求证： 平面7如图，在矩形中，平面，分别为的中点，点是上一个动点(1) 当是中点时，求证:平面平面；(2) 当时，求的值8如图，在正三棱柱中，点分别是的中点求证： 平面若求证：A1B平面B1CE. 9如图，在长方体中， .（1）证明直线平行于平面；（2）求直线到平面的距离.10如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， . （1）求证： 平面；（2）若，求几何体的体积.11在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中点，求证：（）平面AB1E平面B1BCC1；（）A1C/平面AB1E12如图，在三棱柱中，平面，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.13如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，为中点，平面平面.(1)证明：； (2)求三棱锥的体积.14已知三棱锥，为的中点，平面，是中点，与所成的角为，且.（1）求证：； （2）求三棱锥的体积.15在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.（1）设是上一点，求证：平面平面. （2）求四棱锥的体积.16如图，在四棱锥中， 底面，底面为菱形， ， 为的中点. （1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积.17如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点（1）求证： 平面；（2）若， ，求证： 18如图所示，四棱锥中，平面平面， ， ， （1）证明：在线段上存在一点，使得平面；（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积19（本小题共12分）如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .（）求证： 平面；（）求三棱锥的体积.20如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面 底面.（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.21在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中点，求证：（）平面AB1E平面B1BCC1； （）A1C/平面AB1E22如图，四边形为等腰梯形， ，将沿折起，使得平面平面， 为的中点，连接.（1）求证： ； （2）求到平面的距离.23如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点（）证明：平面； （）设，求三棱锥的体积24如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积. 25如图1，在矩形中，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）证明：平面；（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.26如图，在四棱锥中， ， ， 平面， .设分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积. 27如图所示，在长方体中，底面是边长为1的正方形， ， 为棱上的一个动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当取得最小值时，求证： 平面.28在三棱柱中，已知侧棱底面为的中点， . （1）证明: 平面；（2）求点到平面的距离.29五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，B为AC的中点， 先沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示（）求证：平面平面；（）求图乙中的多面体的体积30如图1， 中， ，点为线段的四等分点，线段互相平行，现沿折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面为正方形. （1）证明： 四点共面；（2）求四棱锥的体积.31如图，三棱锥中， 平面， 分别是的中点， 是线段上的任意一点， ，过点作平行于底面的平面交于点，交于点.（1）求证： 平面；（2）若，求点到平面的距离.32如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.33如图，在四棱柱中，已知平面平面，且， （1）求证： ；（2）若为棱的中点，求证： 平面34如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且 平面, 为的中点，() 求证：直线平面；() 若是的中点，求三棱锥的体积；35如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，垂足分别为，四边形为菱形，且.（1）求证：平面； （2）若，求该几何体的体积.36如图，在四棱锥中， ， ， ， 平面.（1）求证： 平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.37如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.（）证明： 平面；（）求三棱锥的体积.38如图，多面体中， , 平面，且.（）为线段中点，求证： 平面；（）求多面体的体积.39在如图所示的几何体中，四边形是矩形， 平面， 是的中点.（1）求证： 平面；（2）若， ，求证平面平面.40如图，四边形为梯形， ， 平面， ， ， ， 为中点.（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在一点，使平面？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.41已知四棱锥中，底面是边长为的菱形， ，点是棱的中点，点在棱上，且， /平面（）求实数的值；（）求三棱锥的体积42在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB。（1）求证：EF平面BDC1；（2）求三棱锥D-BEC1的体积。43如图2，四边形为矩形，平面，,作如图3折叠，折痕 ，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且.（1）证明：平面; （2）求三棱锥的体积.44由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD（1）证明： 平面B1CD1;（2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.45如图，四棱锥中，底面为菱形， 底面.（1）求证: （2）求与平面所成角的正弦值.46如图，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明EF平面A1CD；（）若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱， 求三棱锥的体积47如图所示，四棱锥，已知平面平面， （I）求证： ；（II）若，求三棱锥的体积48在四棱锥中， 为正三角形，平面平面， ， ， .（）求证：平面平面； （）求三棱锥的体积；（）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由49如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，且（）求多面体的体积；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明50如图，三棱柱的侧面为正方形，侧面为菱形， ， .（）求证：平面 ；（）若，求三棱柱的体积.51在三棱柱中， ， ， 为的中点.（1）证明： 平面；（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.52如图： 是平行四边行， 平面, / , ， ， 。（1）求证： /平面；（2）求证：平面平面；53如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ， ，且与均为正三角形， 为的中点， 为重心.（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积.54如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直， ， ， 且.（1）求证： 平面；（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.55如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=BB1， ，D为AC上的点，B1C平面A1BD；（1）求证：BD平面；（2）若且，求三棱锥A-BCB1的体积56如图，四边形为菱形， 为与的交点， 平面（1）证明：平面平面；（2）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积（平面为底面）57已知球内接正四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.(1)求异面直线和所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离.58如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（1）证明：面；（2）证明；（3）求三棱锥的体积59在四棱锥中， ，平面为的中点， .(1)求四棱锥的体积；(2)若为的中点，求证面.60在三棱柱中， ，侧棱平面，且， 分别是棱， 的中点，点棱上，且（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积61如图，四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB（1）求证：CDAP； （2）若CDPD，求证：CD平面PAB；62如图，已知三棱锥中， ， ， 为的中点， 为的中点，且为正三角形.（）求证： 平面；（）请作出点在平面上的射影，并说明理由.若， ，求三棱锥的体积.63如图，在三棱锥中， ， ， ，平面平面， ， 分别为， 中点（1）求证： 平面；（2）求证： ；（3）求三棱锥的体积64如图，在四棱锥中，AEDE，CD平面ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求到平面的距离（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由65在如图所示的多面体中， 平面， （1）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由；（2）求三棱锥的高66如图，直角梯形中， , ,平面平面, 为等边三角形， 分别是的中点， .(1)证明： ;(2)证明： 平面;(3)若,求几何体的体积.67如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，.（1）若平面，求证：.（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求.68如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且.（I）证明：平面平面；（II）求三棱锥的体积.69如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱的中点 （）求证： 平面；（）求三棱锥的体积；（）在线段上是否存在点，使得？请说明理由70如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，（）求证：平面；（）求点到平面的距离71如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，点在上，且.（1）已知点在，且，求证：平面平面；（2）若的面积是梯形面积为，求点E到平面的距离.72如图，在直角梯形中，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面为线段的中点，为线段上的动点 （）当点是线段中点时，求二面角的余弦值； （）是否存在点，使得直线/平面？请说明理由73在斜三棱柱中，平面底面，点、D分别是线段、BC的中点（1）求证：； （2）求证：AD/平面74如图，为边长为2的正三角形，且平面，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高.75如图七面体ABCDEFG中,面ABCD,ADEF,ABGF都是正方形.M,N分别是棱FG,DE的中点.(1)求证:直线MN平面CEG; (2)若AB=a,求三棱锥MCEG的体积.76如图,在四棱椎中,底面为矩形,平面面, , 为中点.（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积.77已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面， 分别是线段的中点.（1）证明： ；（2）若，求点到平面的距离.78如图在四棱锥中， 平面， ，且平分与交于点， 为的中点， .（）证明平面；（）证明平面；（）求三棱锥的体积.79如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， （）求证：平面平面；（）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值80如图，点在以为直径的圆上， 垂直与圆所在平面， 为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.81如图，在三棱锥中，平面 平面，点在上， （）求证： ；（）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.82如图， 是正方形， 平面， ， .（1）求证： 平面；（2）求证： 平面；（3）求四面体的体积.83如图,在四棱柱中,已知, 是的中点（1）求证: ；（2）求三棱锥的体积.84已知四棱锥中，底面为矩形， 底面， ， ， 为上一点， 为的中点.（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.85如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，与相交于，且，矩形底面，为线段上一动点，满足.（）若平面，求实数的值；（）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积.86已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，且面，点为的中点，点在上，与面所成角的正切值为2.（）证明：面；（）求证：面，并求三棱锥的体积.87如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD底面ABCD， ；（1）求证：平面PAB平面PCD；（2）若过点B的直线垂直平面PCD，求证： /平面PAD. 88在直三棱柱中， 是的中点， 是上一点.（1）当时，证明： 平面；（2）若，求三棱锥的体积.89如图，四棱锥中，底面是矩形，平面 平面，且是边长为的等边三角形， ，点是的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求四面体的体积.90已知球内接四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.（1）求异面直线和所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离.91如图所示的几何体中，四边形为菱形， ， ， ， ，平面平面， ， 为的中点， 为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过， ， 三点的平