2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算作业苏教版.docx

3.2.3 空间的角的计算 基础达标如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是_ACSB；AB平面SCD；SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：易证AC平面SBD，因而ACSB，正确；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同答案：已知直线l1的一个方向向量为a(1，2，1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2，0)，则两直线所成角的余弦值为_解析：cosa，b，所以两直线所成角的余弦值为.答案：若直线l的方向向量为a(2，3，1)，平面的一个法向量为n(4，0，1)，则直线l与平面所成角的正弦值等于_解析：sin .答案：若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m(0，0，3)，n(8，9，2)，则这个锐二面角的余弦值为_解析：cos .答案：如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是_解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，所以cos，0，故异面直线AB1和BM所成角的大小是90.答案：90在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1(0，1，3)和n2(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为_解析：由cosn1，n2，知这个二面角的余弦值为或.答案：或在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(2，3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos 等于_解析：过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A、B(图略)，则AA3，BB3，AB4，OAOB，折后，AOB90，AB，由，得|2|2|2|22|cos()269169233cos()，cos .答案：在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成角的正切值为_解析：连结BD，则GBD，由PD面ABCD知PGD为所求角因为PDAB1，G为ABC重心，所以DGBD.因此tanPGD.答案：如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB4 cm，宽AD3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120的二面角，求折叠后BD的长解：作DEAC，BFAC，点E，F为垂足，则AC5 cm，DEBF4 cm，AECF cm，EF cm.折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，且|2()2|2|2|2222|2|2|22|cos 60()2()2()22()2，BD cm，即折叠后BD的长为 cm.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角解：(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(a，a)(2)取A1B1的中点M，则M(0，a)，连结AM，MC1，有(a，0，0)，且(0，a，0)，(0，0, a)，0，0，MC1AB，MC1AA1，ABAA1A，MC1平面ABB1A1.与所成角即为所求的角02a2a2，| a，| a，cos，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.能力提升如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M(1，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)，(0，1)，(1，0，)cos，.答案：如图，将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60的二面角ADEB，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是_解析：如图，DE平面ADC，ADC为二面角ADEB的平面角，即ADC60，又ADDC，ADC为正三角形由平面ADC平面BCDE，过A作AFDC于F，则AF平面BCDE，ABF为AB与平面BCDE所成角设AD1，则在RtAFB中，AF，BF，tanABF.答案：如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)则(0，0，1)，(1，1，1)，(1，0，1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1，1，0)同理，设m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则即可取m(1，2，1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.(创新题)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，点E是SD上的点，且DEa(02)设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tan tan 1，求的值解：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，a)，(a，0，a)，(0，a，a)，(