2020版高考数学复习教材高考审题答题一函数与导数热点问题习题理（含解析）新人教A版.docx

函数与导数热点问题核心热点真题印证核心素养利用导数研究函数的性质2017，21；2018，21；2017，21；2018，21数学运算、逻辑推理利用导数研究函数的零点2018，21(2)；2018江苏，19数学运算、直观想象导数在不等式中的应用2017，21；2017，21；2016，20；2018，21数学运算、逻辑推理教材链接高考导数在不等式中的应用教材探究(选修22P32习题1.3B组第1题(3)(4)利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.(3)ex1x(x0)；(4)ln xx0).试题评析1.问题源于求曲线yex在(0，1)处的切线及曲线yln x在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)exx1与g(x)xln x1对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“ln x”替换“x”，立刻得到x1ln x(x0且x1)，进而得到一组重要的不等式链：exx1x1ln x(x0且x1).3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】 试证明：exln x2.证明法一设f(x)exln x(x0)，则f(x)ex，令(x)ex，则(x)ex0在(0，)恒成立，所以(x)在(0，)单调递增，即f(x)ex在(0，)上是增函数，又f(1)e10，f2x0时，f(x)0；当0xx0时，f(x)2，x0.故exln x2.法二注意到ex1x(当且仅当x0时取等号)，x1ln x(当且仅当x1时取等号)，exx11xln x，故exln x2.探究提高1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点x0；(2)确定ex0，x0ln x0的关系；(3)基本不等式的利用.2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.【链接高考】 (2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增，若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明由(1)知，当a0；x(1，)时，g(x)0时，g(x)0，从而当a0时，ln10，故f(x)2.教你如何审题利用导数研究函数的零点【例题】 (2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.审题路线自主解答(1)证明当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex2x.令g(x)f(x)，则g(x)ex2.令g(x)0，解得xln 2.当x(0，ln 2)时，g(x)0.当x0时，g(x)g(ln 2)22ln 20，f(x)在0，)上单调递增，f(x)f(0)1.(2)解若f(x)在(0，)上只有一个零点，即方程exax20在(0，)上只有一个解，由a，令(x)，x(0，)，(x)，令(x)0，解得x2.当x(0，2)时，(x)0.(x)min(2).a.探究提高1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图象交点的个数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围.2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图象的交点，运用函数的图象性质求解.【尝试训练】 已知三次函数f(x)x3bx2cxd(a，b，cR)过点(3，0)，且函数f(x)在点(0，f(0)处的切线恰好是直线y0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)9xm1，若函数yf(x)g(x)在区间2，1上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)f(x)3x22bxc，由已知条件得，解得b3，cd0，所以f(x)x33x2.(2)由已知条件得，f(x)g(x)x33x29xm1在2，1上有两个不同的零点，可转化为ym与yx33x29x1的图象有两个不同的交点；令h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9，x2，1，令h(x)0得2x1；令h(x)x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证明t0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减.()若a2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增.(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21.又因x2x10，所以x21.又tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)(a2)(x1x2)aa.设(x)x2ln x，x1.由第(1)问知，(x)在(1，)单调递减，且(1)0，从而当x(1，)时，(x)0.所以2ln x2x20.1.已知函数f(x)ln xax2x有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解令g(x)ln x，h(x)ax2x，将零点问题转化为两个函数图象交点的问题.当a0时，g(x)和h(x)的图象只有一个交点，不满足题意；当a0时，由ln xax2x0，得a.令r(x)，则r(x)的定义域为(0，).则r(x)，易知r(1)0，当0x0，r(x)是增函数，当x1时，r(x)0，r(x)maxr(1)1，所以0a0，得x2；令f(x)0，得1x0时，解不等式f(x)0；(2)当a0时，求整数t的所有值，使方程f(x)x2在t，t1上有解.解(1)因为ex0，(ax2x)ex0，所以ax2x0.又因为a0，所以不等式化为x0.所以不等式f(x)0的解集为.(2)当a0时，方程即为xexx2，由于ex0，所以x0不是方程的解，所以原方程等价于ex10.令h(x)ex1，因为h(x)ex0对于x(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数，又h(1)e30，h(3)e30，所以方程f(x)x2有且只有两个实数根，且分别在区间1，2和3，2上，所以整数t的所有值为3，1.4.(2019合肥一中质检)已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图象在xx0处的切线，求证：f(x)g(x).(1)解易知f(x)，由已知得f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，a1.故实数a的取值范围为(，1.(2)证明当a0时，则f(x).函数f(x)的图象在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0).令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则h(x)f(x)f(x0).设(x)(1x)e x0(1x0)ex，xR，则(x)e x0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，而(x0)0，当x0，当xx0时，(x)0，当x0，当xx0时，h(x)0，h(x)在区间(，x0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，xR时，h(x)h(x0)0，f(x)g(x).5.已知函数f(x)eaxax1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设m为整数，且对于任意正整数n(n2).若(n！)0时，令f(x)0，解得x0；令f(x)0，