动量定理、动量守恒.ppt

2-2 动量定理 动量守恒定律,重写牛顿第二定律的微分形式,考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分,一、 动量定理,左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。,于是得到积分形式,这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。,动量定理的几点说明：,(1)冲量的方向：,冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。,(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程,(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。,将积分用平均力代替,动量定理写为,平均力写为,平均力大小：,例 动量定理解释了“逆风行舟”,取一小块风dm为研究对象,风对帆的冲量大小,方向与 相反,例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。,解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：,解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。,在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。,初状态动量为,末状态动量为0,得到,解得,代入m、h、t的值，求得：,(1),(2),解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。,重力作用时间为,支持力的作用时间为t,根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，,得到解法一相同的结果,即,例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的m物体A和B， m大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。,解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：,绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为：,取竖直向上为正方向。,绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：,忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：,解得：,当物体B上升速度为零时，达到最大高度,例题2-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度v1=4m/s，方向与竖直方向成30角，而传送带B与水平成15角，其速度v2=2 m/s如传送带的运送量恒定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力,解:设在某极短的时间t内落在传送带上矿砂的质量为m，即m=kt，这些矿砂动量的增量为,于是,其量值可用矢量差方法求得参看图 (b),设这些矿砂在t时间内的平均作用力为F，根据动量定理，,作用力F的方向与(mv)的方向相同，图(b)中的角可由下式求得：,物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示：,把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：,初始时刻,末时刻,二、变质量物体的运动方程,对系统利用动量定理,略去二阶小量，两端除dt,变质量物体运动微分方程,值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，,为尾气推力。,例2-5 质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面为h.然后放手让它自由下落到地面上，如图所示.求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小.,解：此题可用变质量物体运动微分方程求解，用链条为系统，向下为x正向，,t时刻，落地面链段ml速度为零，即u=0，空中链段（m-ml）速度为v，受力如图。,由变质量物体运动微分方程可得,因在自由下落中 ，所以上式化简为,或,因 ,又,所以,地面所受链条的作用力的大小,如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.,条件,定律,时,时,=常量,时,直角坐标系下的分量形式,三、动量守恒定律,3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。,2.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的动量守恒。,1.对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量保持不变，但系统内的动量可以相互转移。,明确几点,例题2-6 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。,解: 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。,经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，按速度变换定理为,它的水平分量为,于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有,由此得炮车的反冲速度为,解:物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即,例题2-7 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。,所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。因为v1和v2相互垂直所以,由于 和 所成角由下式决定：,即 和 及 都成 且三者都在同一平面内,由于 ,所以 的大小为,例题2-8 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？,解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。,建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10,质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分别v1为v2,相应坐标为x1和x2由运动学公式得,在相遇时，x1=x2=xc，于是有,即,因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式上式得,令x1=xc得,上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出,选地面参考系，并建立直角坐标系,四、火箭飞行原理,由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：,在火箭喷出气体 dm 前 ，系统动量：,喷出气体 dm 后 ，火箭的动量：,喷出气体 dm 的动量：,选 t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系,将（2）、（3）式代入（1）式中并整理得到：,设火箭在点火前质量为Mi，初速度为 vi,设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为 vf,火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。,提高火箭速度的途径有二： 第一条是提高火箭喷气速度u 第二条是加大火箭质量比M0/M,(选优质燃料 ),(采取多级