2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义（含解析）新人教A版.docx

1不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上，右边的数总比左边的数大 (2)如果ab0，则ab；如果ab0，则ab；如果ab0，则ab.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差ab的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nN，n2)(6)如果ab0，那么(nN，n2)3对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：c0时得同向不等式；c0时得等式；cbd，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而ab0，cd0acbd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且nN，n2，否则结论不成立而当n取正奇数时可放宽条件，abanbn(n2k1，kN)，ab(n2k1，kN)(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”这要求必须熟记与区别不同性质的条件如ab，ab0，而反之不成立数、式大小的比较例1已知p，q为正数且pq1，比较(pxqy)2与px2qy2的大小思路点拨利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件解(pxqy)2(px2qy2)p2x22pqxyq2y2px2qy2p(p1)x2q(q1)y22pqxy.因为pq1，所以p1q，q1p.所以(pxqy)2(px2qy2)pq(x2y22xy)pq(xy)2.因为p，q为正数，所以pq(xy)20.所以(pxqy)2px2qy2.当且仅当xy时，不等式中等号成立比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等1已知a，bR，比较a4b4与a3bab3的大小解：因为(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2)(ab)20，(当且仅当ab时，取“”号)所以a4b4a3bab3.2已知x，y均为正数，设m，n，试比较m与n的大小解：mn，x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20，mn0，即mn，当且仅当xy时取等号不等式的证明例2已知ab0，cd0，e.思路点拨可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明证明法一：，ab0，cd0，ba0，cd0.bacd0，c0.同理bd0，(ac)(bd)0.e0.即.法二：.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件3设ab0，求证：.证明：法一：0，原不等式成立法二：ab0，故a2b20.故左边0，右边0.11.原不等式成立4已知ab0，dc0，求证：.证明：因为dc0，所以0.又因为ab0，所以ab，即.利用不等式的性质求范围例3已知30x42,16y24，求xy，x2y，的取值范围思路点拨根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解解30x42,16y24，46xy66.16y24，482y32，18x2y10.16y24，.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和5已知，求的取值范围解：，且.，且0.0.即的取值范围为，0)6已知14，21，求2的取值范围解：设2m()n()，解得又14，21，2.2的取值范围为.1已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若xy0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是()AP在Q的左边BP在Q的右边CP，Q两点重合 D不能确定解析：选Bxy|y|0.故P在Q的右边2已知a，b，cR，且ab0，则下面推理中正确的是()Aabam2bm2 B.abCa3b3b2ab解析：选C对于A，若m0，则不成立；对于B，若c0(ab)(a2abb2)0，a2abb22b20恒成立，ab0，ab.又ab0，b2(ab)(ab)0，不能说ab.3已知a，b，c(0，)，若，则()Acab BbcaCabc Dcba解析：选A由，可得111，即，又a，b，c(0，)，所以abbcca.由abbc可得ac；由bcca可得ba，于是有cab.4若a，b为实数，则“0ab1”是“a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A对于0ab0，则b0，a成立，如果a0，则b成立，因此“0ab1”是“a”的充分条件；反之，若a1，b2，结论“a”成立，但条件0ab1不成立，因此“0ab1”不是“a”的必要条件，即“0ab1”是“a”的充分不必要条件5若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)_g(x)解析：f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)2110，f(x)g(x)答案：6下列命题：cab；a0b；0ab； 1)ab.其中真命题是_(填序号)解析：cacbab.a0b0，0.0，有或即或不正确，中无论n为奇数或偶数，均可由1)ay，则实数a，b应满足的条件为_解析：xy，xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.ab10或a20.即ab1或a2.答案：ab1或a28若a0，b0，求证：ab.证明：ab(ab)，(ab)20恒成立，且已知a0，b0，ab0，ab0.0.ab.9若f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解：f(1)ab，f(1)ab，令f(2)4a2bAf(1)Bf(1)，则f(2)3f(1)f(1)1f(1)2,2f(1)4，33f(1)6，5f(1)3f(1)10，5f(2)10.故f(2)的取值范围为5,1010已知a0，a1.(1)比较下列各组大小a21与aa；a31与a2a；a51与a3a2.(2)探讨在m，nN条件下，amn1与aman的大小关系，并加以证明解：(1)a0，a1，a21(aa)a212a(a1)20.a21aa.a31(a2a)a2(a1)(a1)(a1)(a1)20，a31a2a，a51(a3a2)a3(a21)(a21)(a21)(a31)当a1时，a31，a21，(a21)(a