2018_2019学年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法二综合法与分析法讲义（含解析）新人教A版.docx

二 综合法与分析法1综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” (3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为2分析法(1)定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(3)证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为用综合法证明不等式例1已知a，b，cR，且互不相等，又abc1.求证：.思路点拨本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向左端含有根号，脱去根号可通过实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可证明法一：a，b，c是不等正数，且abc1，.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc.c2a22ca，将以上三个不等式相加得：2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的两边同时加上“a2b2c2”得：3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的两端同时加上2(abbcca)得：(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.用分析法证明不等式例2a，bR，且2cab.求证：cac.思路点拨本题考查分析法在证明不等式中的应用证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，两边平方得a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)2ac显然成立原不等式成立(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆2求证：0,20，要证 2.只需证()2(2)2.展开得10220.即证210，即证2125(显然成立)0，y0，求证(x2y2)(x3y3).证明：要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2.即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6.即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy.3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).综合法与分析法的综合应用例3设a0，b0，且ab1，求证：.思路点拨所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明证明要证，只需证()26，即证(ab)226.由ab1得只需证，即证ab.由a0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系4已知a，b，c都是正数，求证：23.证明：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b，c为正数，得c2c3成立原不等式成立1设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbac Dba解析：选B由已知，可得出a，b，c，2.bca.2a，bR，那么下列不等式中不正确的是()A.2 B.abC. D.解析：选CA项满足基本不等式；B项可等价变形为(ab)2(ab)0，正确；C项中不等式可化为a3b3a2bab2，即(ab)(ab)20，所以C项不正确；D项是A项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确3已知m1，a，b，则以下结论正确的是()Aab BabCab Da，b大小不定解析：选Ba，b .而0(m1)，即ab.4已知a，b，c为三角形的三边且Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2PBPSP DPS2P解析：选Da2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2，同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)，即S0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为_解析：P，Q，RQP，当且仅当ab时取等号答案：PQR7设abc，且恒成立，则m的取值范围是_解析：abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，当且仅当abbc时取等号m(，4答案：(，48已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明：因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc，当且仅当abc时取等号9设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc ；(2) ()证明：(1)要证abc ，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故只需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2) .在(1)中已证abc .因此要证原不等式成立，只需证明 ，即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.所以abcabbcca(当