2019高中数学第三章圆锥曲线与方程抛物线方程及性质的综合应用（习题课）课后训练案巩固提升.docx

习题课-抛物线方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A组1.设AB为过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为()A.B.pC.2pD.无法确定解析:由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当x=,y=p时,|AB|min=2p.答案:C2.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:由抛物线定义知|MF|=xM+,所以半径r=,而圆心为MF的中点,圆心到y轴的距离为=r,故该圆与y轴相切.答案:B3.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则|FA|-|FB|的值等于()A.8B.8C.4D.4解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|-|BF|=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|=8.答案:A4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|+|BF|=3,得x1+x2+=3,所以x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为.答案:C5.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线作垂线,垂足为B,若ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是()A.y2=xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x解析:设抛物线方程为y2=2px,取AB的中点为D,由A(3,y),B,得D.因为ABF为等边三角形,所以FDAB.又F,所以,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.答案:D6.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:直线y=x-,则所以x2-3px+=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案:27.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是.解析:设直线方程为x=ky+4,与抛物线的方程联立得y2-4ky-16=0,y1+y2=4k,y1y2=-16.=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32.故最小值为32.答案:328.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值.解由抛物线y2=8x知,p=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+=x1+x2+p,所以x1+x2=|AB|-p.由条件知=3,则x1+x2=6,所以|AB|-p=6.又因为p=4,所以|AB|=10.综上可知,|AB|的值是10.9.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.证明:直线AC经过坐标原点O.证明抛物线的焦点为F.设直线AB的方程为x=my+,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.BCx轴,且点C在准线上,C,则kCO=.又由=2px1,得kAO=,故kCO=kAO,即直线AC经过坐标原点O.10.导学号90074072如图,已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切,点F关于圆心M的对称点为F,动点F的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)设A(x0,y0)是曲线C上的一个定点,过点A任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点P,Q.证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解设点F的坐标为(x,y).点F与点F(0,1)关于点M对称,点M的纵坐标为.M与x轴相切,M的半径长为.线段FF是M的直径,|FF|=2=y+1,即=y+1,整理,得x2=4y,即曲线C的方程为x2=4y.(2)证明设点P(x1,y1),Q(x2,y2),如图.根据题意,知直线AP的斜率存在,设为k1,则直线AP的方程为y-y0=k1(x-x0).将其与x2=4y联立并消去y,得x2-4k1x+4k1x0-4y0=0,该方程有两个根x0,x1,则x0+x1=4k1,x1=4k1-x0.直线AP,AQ的倾斜角互补,直线AQ的斜率为-k1.同理,可得x2=-4k1-x0,x1+x2=-2x0,直线PQ的斜率kPQ=-.根据题意,知x0为定值,直线PQ的斜率为定值.B组1.抛物线y2=4x的焦点为F,过F且倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则AF的长为()A.2B.4C.6D.8解析:过点A作AA1准线l,则AA1=AF,过点F作FBAA1,则BFA=30.所以BA=|AF|.A1B=|AF|=p=2,|AF|=4.答案:B2.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是()A.m+n=mnB.m+n=4C.mn=4D.无法确定解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),当焦点弦与抛物线的轴垂直时,m=2,n=2,m+n=mn.当焦点弦与抛物线的轴不垂直时,设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k0).把y=k(x-1)代入y2=4x并整理,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,x1x2=1.m=x1+1,n=x2+1,x1=m-1,x2=n-1,代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn.答案:A3.导学号90074073过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则=.解析:由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),直线AB的方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1,=x1x2+y1y2=1+k2=-3.答案:-34.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,对称轴为x轴,焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为2,且|FA|OA|=10.(1)求此抛物线C的方程;(2)过点(4,0)作直线l交抛物线C于A,B两点,求证:OAOB.(1)解设抛物线C:y2=2px(p0),点A(2,y0),则有=4p.F,=4-p+=4+3p=10,p=2,抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明当直线l斜率不存在时,此时l:x=4,联立解得A(4,4),B(4,-4),满足=0,OAOB.当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-4),联立方程消去y得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=16,则=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=16(1+k2)-32k2-16+16k2=0,即有OAOB.综上,OAOB成立.5.如图,过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F的一条直线与抛物线交于两点P,Q,过点P和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点M,求证直线MQ平行于抛物线C的对称轴.证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),由题意设直线PQ的方程为y=