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2.2.2 直线与圆的位置关系 学业水平训练1经过点(1,7)且与圆x2y225相切的直线方程为_解析:设切线的斜率为k,则切线方程为y7k(x1),即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)即4x3y250或3x4y250.答案:4x3y250或3x4y2502圆心坐标为(2,1)的圆在直线xy10上截得的弦长为2,则此圆的方程为_解析:圆心到直线的距离d,由于弦心距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形,所以r2d2()24,所以所求圆的方程是(x2)2(y1)24.答案:(x2)2(y1)243若直线axby10与圆C:x2y21相交,则点P(a,b)与圆C的位置关系是_解析:由题意1,点P(a,b)到圆心的距离为1r,点P在圆C外答案:点P在圆C外4过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线,若两条切线的夹角是60,则点P的坐标是_解析:设P(x,y),则由已知可得OP(O为原点)与切线的夹角为30,则OP2,由,可得.故点P的坐标是(,)答案:(,)5圆(x1)2(y2)28上到直线xy10的距离为的点的个数为_解析:圆心(1,2)到直线xy10的距离d,又圆半径r2,所以满足条件的点共有3个答案:36过点A(1,)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k等于_解析:由(12)2()230),由于圆过点(1,0),则半径r|x01|.圆心到直线l的距离为d.由弦长为2可知()2(x01)22,整理得(x01)24.x012,x03或x01(舍去) 因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直线yx1垂直的直线方程为y(x3),即xy30.答案:xy302在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1,则实数c的取值范围是_解析:由题设,得若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d,0|c|13,即c(13,13)答案:(13,13)3在平面直角坐标系xOy中,曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线xya0交于A,B两点,且OAOB,求a的值解:(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)与x轴的交点为(32,0),(32,0)故可设C的圆心为(3,t),则有32(t1)2(2)2t2,解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组消去y,得方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得,判别式5616a4a20.从而x1x24a,x1x2.由于OAOB,可得x1x2y1y20.又y1x1a,y2x2a,所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1,满足0,故a1.4如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x3)2(y1)24和圆C2:(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标解:(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x4),即kxy4k0,所以圆心C1(3,1)到直线l的距离d1,由点到直线的距离公式得1,化简得24k27k0,解得k0或k.所以直线l的方程为y0或y(x4),即y0或7x24y280.(2)设点P的坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为ynk(xm),yn(xm),即kxynkm0,xynm0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等,由垂径定理,得:圆心C1(3,1)到直线
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