概率论与数理统计教程第二版茆诗松程依明濮晓龙习题一参考答案.pdf

1 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 习题习题 1.1 1 写出下列随机试验的样本空间： （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个 解： （1） = (0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （2） = (x1 , x2 , x3)：x1 , x2 , x3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6； （3） = (1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，(0, 0, , 0, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （4） = BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R； （5） = BW，BR，WB，WR，RB，RW， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R 2 先抛一枚硬币，若出现正面（记为 Z） ，则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为 F） ，则再抛 一枚硬币，试验停止那么该试验的样本空间是什么？ 解： = Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF 3 设 A, B, C 为三事件，试表示下列事件： （1）A, B, C 都发生或都不发生； （2）A, B, C 中不多于一个发生； （3）A, B, C 中不多于两个发生； （4）A, B, C 中至少有两个发生 解： （1）CBAABC U； （2）CBACBACBACBAUUU； （3）ABC或CBACBACBACBABCACBACABUUUUUU； （4）ABCBCACBACABUUU 4 指出下列事件等式成立的条件： （1）AB = A； （2）AB = A 解： （1）当 A B 时，AB = A； （2）当 A B 时，AB = A 5 设 X 为随机变量，其样本空间为 = 0 X 2，记事件 A = 0.5 2” ，C =“X = 0” ，D =“X = 4” 解：A = (1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)，B = (1, 1, 1)，C = (0, 0, 0)，D = 7 试问下列命题是否成立？ （1）A (B C ) = (A B )C； （2）若 AB = 且 C A，则 BC = ； （3）(AB ) B = A； （4）(A B )B = A 解： （1）不成立，CBAACBAACBACBACBACBACBAUUUU)()()()(=； （2）成立，因 C A，有 BC AB = ，故 BC = ； （3）不成立，因ABABABBBABBABBA=UUU)()(； （4）不成立，因ABABBBABBABBA=UUUUU)()( 8 若事件 ABC = ，是否一定有 AB = ？ 解：不能得出此结论，如当 C = 时，无论 AB 为任何事件，都有 ABC = 9 请叙述下列事件的对立事件： （1）A =“掷两枚硬币，皆为正面” ； （2）B =“射击三次，皆命中目标” ； （3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品” 解： （1）=A“掷两枚硬币，至少有一个反面” ； （2）=B“射击三次，至少有一次没有命中目标” ； （3）=C“加工四个零件，皆为不合格品” 10证明下列事件的运算公式： （1）BAABAU=； （2）BAABAUU= A B (A B )C C A (B C ) C A B 3 证： （1）AABBABAAB=)(UU； （2）BABABAAABAAUUUUU=)()( 11设 F 为一事件域，若 An F ，n = 1, 2, ，试证： （1） F ； （2）有限并 = U n i i A 1 F ，n 1； （3）有限交 = I n i i A 1 F ，n 1； （4）可列交 + = I 1i i AF ； （5）差运算 A1 A 2 F 证： （1）由事件域定义条件 1，知 F ，再由定义条件 2，可得=F ； （2）在定义条件 3 中，取 An + 1 = An + 2 = = ，可得= = UU 11i i n i i AAF ； （3）由定义条件 2，知 n AAA, 21 LF ，根据（2）小题结论，可得 = U n i i A 1 F ， 再由定义条件 2，知 = U n i i A 1 F ，即 = I n i i A 1 F ； （4）由定义条件 2，知LL, 21n AAAF ，根据定义条件 3，可得 = U 1i i AF ， 再由定义条件 2，知 = U 1i i AF ，即 = I 1i i AF ； （5）由定义条件 2，知 2 AF ，根据（3）小题结论，可得 21A AF ，即 A1 A 2 F 4 习题习题 1.2 1 对于组合数 r n ，证明： （1） = rn n r n ； （2） + = r n r n r n1 1 1 ； （3） n n nnn 2 10 = + + L； （4） 1 2 2 2 1 = + + n n n n n nn L； （5） + = + + n bab n a n ba n ba 0110 L，n = mina, b； （6） = + + n n n nnn2 10 222 L 证： （1） = = = r n rrn n rnnrn n rn n !)!( ! )!()!( ! ； （2） = =+ = + = + r n rnr n rnr rnr n rnr n rnr n r n r n )!( ! ! )( )!( ! )!1( )!1( ! )!1( )!()!1( )!1( 1 1 1 ； （3）由二项式展开定理 nnnn y n n yx n x n yx + + =+ L 1 10 )(，令 x = y = 1，得 n n nnn 2 10 = + + L； （4）当 1 r n 时， = = = = 1 1 )!()!1( )!1( )!()!1( ! )!(! ! r n n rnr n n rnr n rnr n r r n r， 故 1 2 1 1 1 1 0 1 2 2 1 = + + = + + n n n n n n n n n n n n nn LL； （5）因 aa x a a x aa x + + =+L 10 )1 (， bb x b b x bb x + + =+L 10 )1 (， 两式相乘，其中 x n的系数为 + + 0110 b n a n ba n ba L， 5 另一方面 bababa x a ba x baba xxx + + + + + + =+=+L 10 )1 ()1 ()1 (， 其中 x n的系数为 + n ba ，即 + = + + n bab n a n ba n ba 0110 L； （6）在（5）小题结论中，取 a = b = n，有 = + + n nn n n n nn n nn2 0110 L， 再由（1）小题结论，知 = rn n r n ，即 = + + n n n nnn2 10 222 L 2 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率 解：样本点总数 n = 23 = 8， 事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面” ，其所含样本点个数为 1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为 k = 8 1 = 7， 故所求概率为 8 7 )(=AP 3 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率 解：将所有正整数看作两个类“偶数” 、 “奇数” ，样本点总数 n = 22 = 4， 事件“两个都是偶数”所含样本点个数为 1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为 1， 即事件 A =“它们的和为偶数”所含样本点个数 k = 2， 故所求概率为 2 1 4 2 )(=AP 4 掷两枚骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为 6； （2）点数之和不超过 6； （3）至少有一个 6 点 解：样本点总数 n = 62 = 36 （1）事件 A1 =“点数之和为 6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数 k1 = 5， 故所求概率为 36 5 )( 1 =AP； （2）事件 A2 =“点数之和不超过 6”的样本点有 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数 k2 = 15， 故所求概率为 12 5 36 15 )( 2 =AP； （3）事件 A3 =“至少有一个 6 点”的样本点有 (1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k3 = 11， 故所求概率为 36 11 )( 3 =AP 5 考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0，其中 B, C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方 程有实根的概率 p 和有重根的概率 q 解：样本点总数 n = 62 = 36， 事件 A1 =“该方程有实根” ，即 B 2 4C 0，样本点有 6 (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k1 = 19， 故 36 19 1 = n k p 事件 A2 =“该方程有重根” ，即 B 2 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数 k2 = 2， 故 18 1 36 2 2 = n k q 6 从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张，求下列事件的概率： （1）全是黑桃； （2）同花； （3）没有两张同一花色； （4）同色 解：样本点总数270725 1234 49505152 4 52 = = =n， （1）事件 A1 =“全是黑桃”所含样本点个数715 1234 10111213 4 13 1 = = =k， 故所求概率为0026. 0 270725 715 )( 1 =AP； （2）事件 A2 =“同花”所含样本点个数2860 1234 10111213 4 4 13 4 2 = = =k， 故所求概率为0106. 0 270725 2860 )( 2 =AP； （3）事件 A3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数 k3 = 13 13 13 13 = 28561， 故所求概率为1055. 0 270725 28561 )( 3 =AP； （4）事件 A4 =“同色”所含样本点个数29900 1234 23242526 2 4 26 2 4 = = =k， 故所求概率为1104. 0 270725 29900 )( 4 =AP 7 设 9 件产品中有 2 件不合格品从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品、仅有一个合格 品和没有合格品的概率各为多少？ 解：样本点总数36 12 89 2 9 = = =n， 事件 A1 =“全是合格品”所含样本点个数21 12 67 2 7 1 = = =k，故所求概率为 12 7 36 21 )( 1 =AP； 事件 A2 = “仅有一个合格品” 所含样本点个数1427 1 2 1 7 1 = =k， 故所求概率为 18 7 36 14 )( 2 =AP；  7 事件 A3 =“没有合格品”所含样本点个数1 2 2 3 = =k，故所求概率为 36 1 )( 3 =AP 8 口袋中有 7 个白球、3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：样本点总数45 12 910 2 10 = = =n， 事件 A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24 12 23 12 67 2 3 2 7 = + = + =k， 故所求概率为 15 8 45 24 )(=AP 9 甲口袋有 5 个白球、3 个黑球，乙口袋有 4 个白球、6 个黑球从两个口袋中各任取一球，求取到的 两个球颜色相同的概率 解：样本点总数 n = 8 10 = 80， 事件 A =“两个球颜色相同”所含样本点个数 k = 5 4 + 3 6 = 38， 故所求概率为 40 19 80 38 )(=AP 10从 n 个数 1, 2, , n 中任取 2 个，问其中一个小于 k（1 R xR， 22 4 3 Rx 0，有任意两数 x, y，且 0 0，P (B) 0 时，只要 A 和 B 不相容，就有 P (AB) = 0； （6）正确，P (A B) = P (A) P (AB) = P (A) 3 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机 地抽取一个，试求取到二级品的概率 解： 设 A, B, C 分别表示 “取到一、 二、 三级品” ， 有 P (A) + P (B) + P (C ) = 1， P (A) = 3P (B)，)( 2 1 )(BPCP=，  则1)( 2 9 )( 2 1 )()(3=+BPBPBPBP，即 9 2 )(=BP， 故取到二级品的概率 9 2 )(=BP 4 从 0, 1, 2, , 9 等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1 = 三个数字中不含 0 和 5； （2）A2 = 三个数字中不含 0 或 5； （3）A3 = 三个数字中含 0 但不含 5 解：样本点总数120 123 8910 3 10 = = =n， （1）事件 A1所含样本点个数56 123 678 3 8 1 = = =k，故 15 7 120 56 )( 1 =AP； （2） 事件= 2 A“三个数字中含 0 和 5” 所含样本点个数8 1 8 2 = = A k， 故 15 14 120 112 )(1)( 22 =APAP；  （3）事件 A3所含样本点个数28 12 78 2 8 3 = = =k，故 30 7 120 28 )( 3 =AP 15 5 某城市中共发行 3 种报纸 A, B, C 在这城市的居民中有 45%订阅 A 报、 35%订阅 B 报、 25%订阅 C 报， 10%同时订阅 A 报 B 报、8%同时订阅 A 报 C 报、5%同时订阅 B 报 C 报、3%同时订阅 A, B, C 报求 以下事件的概率： （1）只订阅 A 报； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的 解：设 A, B, C 分别表示“订阅报纸 A, B, C ” ， 则 P (A) = 0.45， P (B) = 0.35， P (C ) = 0.30， P (AB) = 0.10， P (AC ) = 0.08， P (BC ) = 0.05， P (ABC ) = 0.03，  （1）)()()()()()()()(ABCPACPABPAPACABPAPCBAPCBAP+=UU = 0.45 0.10 0.08 + 0.03 = 0.30； （2）)()()()(CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP+=UU， 因)()()()()()()()(ABCPBCPABPBPBCABPBPCABPCBAP+=UU = 0.35 0.10 0.05 + 0.03 = 0.23， )()()()()()()()(ABCPBCPACPCPBCACPCPBACPCBAP+=UU = 0.30 0.08 0.05 + 0.03 = 0.20， 故73. 020. 023. 030. 0)()()()(=+=+=CBAPCBAPCBAPCBACBACBAPUU； （3）P (ABC ) = P (A) + P (B) + P (C ) P (AB) P (AC ) P (BC ) + P (ABC ) = 0.45 + 0.35 + 0.30 0.10 0.08 0.05 + 0.03 = 0.90； （4）10. 090. 01)(1)(=CBAPCBAPUU 6 某工厂一个班组共有男工 9 人、女工 5 人，现要选个代表，问选的个代表中至少有 1 个女工的 概率是多少？ 解：样本点总数364 123 121314 3 14 = = =n， 事件=A“选个代表中没有女工”所含样本点个数84 123 789 3 9 = = = A k， 故所求概率为 13 10 364 280 364 84 1)(1)(=APAP 7 一赌徒认为掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点与掷两颗骰子 24 次至少出现一次双 6 点的机会是相等 的，你认为如何？ 解： “掷一颗骰子 4 次”的样本点总数 n1 = 64 = 1296， 事件= 1 A“没有出现 6 点”所含样本点个数为62554 1 = A k， 则5177. 0 1296 671 1296 625 1)(1)( 11 =APAP； “掷两颗骰子 24 次”的样本点总数 n2 = (62 )24 = 36 24， 事件= 2 A“没有出现双 6 点”所含样本点个数为 24242 35) 16( 2 = A k， 16 则4914. 0 36 3536 36 35 1)(1)( 24 2424 24 24 22 = =APAP； 故掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点的机会比掷两颗骰子 24 次至少出现一次双 6 点的机会更大 8 从数字 1, 2, , 9 中可重复地任取 n 次，求 n 次所取数字的乘积能被 10 整除的概率 解：样本点总数 N = 9 n， 因事件 A =“n 次所取数字的乘积能被 10 整除”就是“至少取到一次数字 5 并且至少取到一次偶数” ，  则事件=A“没有取到数字 5 或没有取到偶数” ， 设事件 B =“没有取到数字 5” ，C =“没有取到偶数” ， 则事件 B 所含样本点个数为 KB = 8 n，事件 C 所含样本点个数为 KC = 5 n， 且事件 BC =“没有取到数字 5 和偶数”所含样本点个数为 KBC = 4 n， 故 n nnnn n n n n n n BCPCPBPCBPAPAP 9 4589 9 4 9 5 9 8 1)()()(1)(1)(1)( + =+=+=U 9 口袋中有 n 1 个黑球和 1 个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球问第 k 次摸球 时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数 N = n k ， 事件=A“第 k 次摸球时摸到白球” ，此时前 n 1 次摸球时都必须是摸到黑球， 则A中所含样本点个数 1 ) 1( = k A nK， 故所求概率为 k k n n APAP 1 ) 1( 1)(1)( = 10若 P (A) = 1，证明：对任一事件 B，有 P (AB) = P (B) 证：因 P (A) = 1，且ABA，有0)(1)()(=APAPBAP， 则0)()()()(=ABPBPABPBAP， 故 P (AB) = P (B) 11掷 2n + 1 次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率 解：设 A =“出现的正面数多于反面数” ，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等， 事件=A“出现的反面数多于正面数” ， 由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同， 则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(APAP=，又1)()(=+APAP， 故 P (A) = 0.5 12有三个人，每个人都以同样的概率 1/5 被分配到 5 个房间中的任一间中，试求： （1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率 解：样本点总数 n = 53 = 125， （1）事件 A1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为 k1 = 5， 故所求概率为 25 1 125 5 )( 1 =AP； （2）事件 A2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345 3 52 = Ak， 故所求概率为 25 12 125 60 )( 2 =AP 13一间宿舍住有 5 位同学，求他们之中至少有 2 个人生日在同一个月份的概率 17 解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数 n = 125， 事件=A“每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为 5 12 AkA=， 故所求概率为6181. 0 144 89 12 1)(1)( 5 5 12 = A APAP 14某班 n 个战士各有 1 支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人 随机地取了 1 支枪，求至少有 1 人拿到自己的枪的概率 解：设 Ai =“第 i 个战士拿到自己的枪” ，ni, 2, 1L=，有= = i n i A 1 U“至少有 1 人拿到自己的枪” ， 因)() 1()()()()( 21 1 111 1 n n nkji kji nji ji n i ii n i AAAPAAAPAAPAPAPLLU+= y， 求 P (B | A )，P (A | B ) 解：样本点总数 n = 6 2 = 36， 则事件 A 中所含样本点个数 kA = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有 36 30 )(=AP， 事件 B 中所含样本点个数 kB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有 36 15 )(=BP， 事件 AB 中所含样本点个数 kAB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有 36 13 )(=ABP， 故 30 13 3630 3613 )( )( )|(= AP ABP ABP， 15 13 3615 3613 )( )( )|(= BP ABP BAP 8 已知 P (A) = 1/3，P (B | A) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求 P (AB ) 解：因 12 1 4 1 3 1 )|()()(=ABPAPABP， 2 1 61 121 )|( )( )(= BAP ABP BP， 故 4 3 12 1 2 1 3 1 )()()()(=+=+=ABPBPAPBAPU 9 已知3 . 0)(=AP，P (B ) = 0.4，5 . 0)(=BAP，求)|(BABPU 解：因2 . 05 . 03 . 01)()(1)()()(=BAPAPBAPAPABP， 21 且8 . 05 . 04 . 013 . 01)()(1)(1)()()()(=+=+=+=BAPBPAPBAPBPAPBAPU， 故25. 0 8 . 0 2 . 0 )( )( )( )( )|(= BAP ABP BAP BABP BABP UU U U 10设 A, B 为两事件，P (A) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求)|(BAP 解：因 18 1 6 1 3 1 )|()()(=BAPBPABP，有 18 11 18 1 3 1 3 1 )()()()(=+=+=ABPBPAPBAPU， 则 18 7 18 11 1)(1)()(=BAPBAPBAPUU，且 3 2 3 1 1)(1)(=BPBP， 故 12 7 32 187 )( )( )|(= BP BAP BAP 11口袋中有 1 个白球，1 个黑球从中任取 1 个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的 黑球放回的同时，再加入 1 个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率 （1）取到第 n 次，试验没有结束； （2）取到第 n 次，试验恰好结束 解：设 Ak =“第 k 次取出的是黑球” ，k = 1, 2, （1）所求概率为 P (A1A2An 1An) = P (A1A2An 1)P (An | A1A2An 1) 1 1 13 2 2 1 )|()|()( 121121 + = + = nn n AAAAPAAPAP nn LLL； （2）所求概率为)|()()( 121121121 = nnnnn AAAAPAAAPAAAAPLLL ) 1( 1 1 1 3 2 2 1 )|()|()( 121121 + = + = nnn AAAAPAAPAP nn LLL 12一盒晶体管有 8 只合格品，2 只不合格品从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品 的概率 解：设 A1, A2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品” ，B 表示“第二次取出的是合格品” ， 故所求概率为8 . 0 90 72 9 8 10 2 9 7 10 8 )|()()|()()( 2211 =+=+=ABPAPABPAPBP 13甲口袋有 a 个白球、b 个黑球，乙口袋有 n 个白球、m 个黑球 （1）从甲口袋任取 1 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 个球试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率； （2）从甲口袋任取 2 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 个球试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率 解： （1）设 A0 , A1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球” ，B 表示“从乙口袋取出的是白球” ， 故所求概率为 P (B) = P (A0)P (B | A0) + P (A1)P (B | A1) ) 1)( ) 1( 11 1 + + = + + + + + + = nmba bnna mn n ba b mn n ba a ； （2）设 A0 , A1 , A2分别表示“从甲口袋取出的是 2 个白球、1 个白球 1 个黑球、2 个黑球” ， B 表示“从乙口袋取出的是白球” ， 故所求概率为 P (B) = P (A0)P (B | A0) + P (A1)P (B | A1) + P (A2)P (B | A2) 22 2) 1)( ) 1( 2 1 ) 1)( 2 2 2 ) 1)( ) 1( + + + + + + + + + + = mn n baba bb mn n baba ab mn n baba aa )2)(1)( ) 1() 1(2)2)(1( + + = mnbaba nbbnabnaa 14有 n 个口袋，每个口袋中均有 a 个白球、b 个黑球从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从 第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第 n 1 个口袋中任取一球放入第 n 个口袋， 最后再从第 n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率 解：设 Ak表示“从第 k 个口袋取出的是白球” ， 当 k = 1 时，有 ba a AP + =)( 1 ， 设对于 k 1，有 ba a AP k + = ) ( 1 ， 则 11 1 )|()()|()()( 1111 + + + + + + =+= ba a ba b ba a ba a AAPAPAAPAPAP kkkkkkk ba a baba baa baba abaa + = + + = + + = ) 1)( )1( ) 1)( ) 1( ， 故由数学归纳法可知，对任意自然数 k， ba a AP k + =)(，即 ba a AP n + =)( 15钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是 50%、30%和 20%，而掉在上述三处地 方被找到的概率分别是 0.8、0.3 和 0.1试求找到钥匙的概率 解：设 A1 , A2 , A3分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上” ，B 表示“找到钥匙” ， 故所求概率为 P (B) = P (A1)P (B | A1) + P (A2)P (B | A2) + P (A3)P (B | A3) = 0.5 0.8 + 0.3 0.3 + 0.2 0.1 = 0.51 16两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06， 加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍 （1）求任取一个零件是合格品的概率； （2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率 解：设 A1, A2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件” ，B 表示“取出的是合格品” ， （1）所求概率为96. 094. 0 3 1 97. 0 3 2 )|()()|()()( 2211 =+=+=ABPAPABPAPBP； （2）所求概率为5 . 0 04. 0 06. 0 3 1 )( )|()( )( )( )|( 222 2 = = BP ABPAP BP BAP BAP 17有两箱零件，第一箱装 50 件，其中 20 件是一等品；第二箱装 30 件，其中 18 件是一等品，现从两箱 中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求 （1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率 解：设 A1 , A2分别表示“挑出第一箱、第二箱” ，B1 , B2分别表示“第一次、第二次取出的是一等品” ， （1）所求概率为5 . 0 30 18 2 1 50 20 2 1 )|()()|()()( 2121111 =+=+=ABPAPABPAPBP； （2）因 14210 3601 29 17 30 18 2 1 49 19 50 20 2 1 )|()()|()()( 2212121121 =+=+=ABBPAPABBPAPBBP， 故所求概率为5068. 0 7105 3601 5 . 0 142103601 )( )( )|( 1 21 12 = BP BBP BBP 23 18学生在做一道有 4 个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测现从卷 面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率 （1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 1/2； （2）学生知道正确答案的概率是 0.2 解：设 A1 , A2分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测” ，B 表示“题答对了” ， （1）因 P (A1) = 0.5，P (A2) = 0.5， 故所求概率为8 . 0 625. 0 5 . 0 25. 05 . 015 . 0 15 . 0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP， （2）因 P (A1) = 0.2，P (A2) = 0.8， 故所求概率为5 . 0 4 . 0 2 . 0 25. 08 . 012 . 0 12 . 0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP 19已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者，今从男女比例为 22:21 的人群中随机地 挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设 A1 , A2分别表示“此人是男性、女性” ，B 表示“此人是色盲患者” ， 故所求概率为9544. 0 0025. 0 43 21 05. 0 43 22 05. 0 43 22 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP 20口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意 取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？ 解：设 A1 , A2分别表示“原来那个球是白球、黑球” ，B 表示“取出的是白球” ， 故所求概率为 3 2 75. 0 5 . 0 5 . 05 . 015 . 0 15 . 0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP 21将 n 根绳子的 2n 个头任意两两相接，求恰好结成 n 个圈的概率 解：样本点总数为 N = (2n 1) (2n 3)3 1 = (2n 1)!， 事件 A =“恰好结成 n 个圈”所含样本点个数 K = 1， 故所求概率为 !)!12( 1 )( = n AP 22m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余 m 1 个人中的 任何一个求第 n 次传球时仍由甲传出的概率 解：设 Ak表示“第 k 次传球时由甲传出” ，k = 1, 2, ，有 P (A1) = 1， 则)( 1 1 1 1 1 1 )(1 0)|()()|()()( 111111 = +=+= kkkkkkkkk AP mmm APAAPAPAAPAPAP，  故 = = )( 1 1 1 1 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 11nnn AP mmmm AP mm AP )( 1 1 1 1 1 1 1 22 + = n AP mmm )( 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 AP mmmmm n n n n n n + + + =L 24 = = + = 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1( 1 1 1 1 n n n n mm m mm mmm L  23甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷每当某人掷出 1 点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求 第 n 次由甲掷的概率 解：设 Ak表示“第 k 次由甲掷骰子” ，k = 1, 2, ，有 P (A1) = 1， 则)( 3 2 6 1 6 1 )(1 6 5 )()|()()|()()( 1111111 +=+=+= kkkkkkkkkk APAPAPAAPAPAAPAPAP， 故)( 3 2 6 1 3 2 6 1 )( 3 2 6 1 3 2 6 1 )( 3 2 6 1 )( 2 2 21 += +=+= nnnn APAPAPAP 11 1 1 12 3 2 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 6 1 )( 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1 += + = + += nn n nn APL 24甲口袋有 1 个黑球、2 个白球，乙口袋有 3 个白球每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口 袋求交换 n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率 解：设 Ak表示“交换 k 次后黑球在甲口袋中” ，k = 1, 2, ，有 P (A0) = 1， 则)( 3 1 3 1 3 1 )(1 3 2 )()|()()|()()( 1111111 +=+=+= kkkkkkkkkk APAPAPAAPAPAAPAPAP， 故)( 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 3 1 )( 2 22 21 + += +=+= nnnn APAPAPAP nn n nn AP += + = + + += 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 3 1 0 2 L 25假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为 p， 变的概率为 1 p设第一天无雨，试求第 n 天也无雨的概率 解：设 Ak表示“第 k 天也无雨” ，k = 1, 2, ，有 P (A1) = 1， 则)1 ()(1 )()|()()|()()( 111111 pAPpAPAAPAPAAPAPAP kkkkkkkkk +=+= = 1 p + (2p 1) P (Ak 1)， 故 P (An 1) = 1