误差理论与数据处理习题答案1-3章.pdf

第一章第一章 习题及参考答案习题及参考答案 1-1. 测得某三角块的三个角度之和为 1800002” ，试求测量的绝对误差和相对误差。 【解】绝对误差测得值真值1800002”1802” 相对误差绝对误差真值2”/（1806060” ）=3.08610-4 % 1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1m，试问该 被测件的真实长度为多少？ 【解】 绝对误差测得值真值，即： LLL0 已知：L50，L1m0.001mm， 测件的真实长度0LL500.00149.999（mm） 1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa， 该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa， 问二 等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞 压力计测量值的误差测得值实际值100.2100.50.3（ Pa） 。 1-4. 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20m，试求其最大相对误差。 【解】因 LLL0 求得真值：L0LL23100.0202309.98（mm） 。 故：最大相对误差0.0202309.988.6610-4 %0.000866% 1-5. 使用凯特摆时， g由公式g=42（h1+h2） /T2给定。 今测出长度 （h1+h2） 为 （1.042300.00005） m， 振动时间T为 （2.04800.0005） s。 试求g及其最大相对误差。 如果 （h1+h2） 测出为 （1.04220 0.0005）m，为了使g的误差能小于 0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h1+h2）的平均值为 1.04230（m） ，T的平均值为 2.0480（s） 。由 )( 4 21 2 2 hh T g+= 得： 81053. 904230. 1 0480. 2 4 2 2 = g （m/s2） 当（h1+h2）有微小变化)( 21 hh +、T有T变化时，g的变化量为： )( 2 )( 4 )( 8 )( 4 )( )( 2121 2 2 21 3 2 21 2 2 21 21 hh T T hh T Thh T hh T T T g hh hh g g + += += + + = g 的最大相对误差为： T T hh hh hh T hh T T hh T g g + + = + + + = 2)( )( 4 )( 2 )( 4 21 21 212 2 21212 2 1 %054. 0%100 0480. 2 )0005. 0(2 1.04230 0.00005 = 如果（h1+h2）测出为（1.042200.0005）m，为使g的误差能小于 0.001m/s2，即： 001. 0315 . 1=+（不合要求） =4，查t分度表，ta=2.78 = = u n ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值为 8 .0)4 . 0(4 .0 10 6 5 1 = =j j i i 两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。 （为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差-这就提醒 我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。 ） 2-16. 对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准 线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH） ： 50.82，50.83，50.87，50.89； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 【解法一】用t检验法进行检验 前4次测量的算术平均值： 8525.50 4 1 = x x 后6次测量的算术平均值： 7983.50 6 1 = y y 00082. 0)( 4 1 22 = xxS ix ； =00105. 0)( 6 1 22 yyS iy 44. 2 )00105. 0600082. 04)(64( )264(64 )798.508525.50(= + + =t 由=4+6-2=8及取=0.05，查t分布表，得t a=2.31。 因31. 244. 2= a tt，可判断两组数据可能存在系统误差。 【解法二】用秩和检验法进行检验。将两组数据按从小到大混合排列成下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 50.82 50.83 50.87 50.89 yi50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 50.85 已知：n1=4，n2=6；计算秩和T：T=5.5+7+9+10=31.5，查表：T-=14，T+=30； 因：T=31.5 T+=30，可判断两组数据可能存在系统误差。 10 【解法三】用计算数据比较法检验。两组数据的算术平均值和标准差分别为： 第一组数据： 8525.50 4 1 = x x；033. 0 14 10275. 3 1 3 2 1 = = = n i 第二组数据： 7983.50 6 1 = y y； 035. 0 16 108334.62 1 4 2 2 = = = n j 注：若以极差法计算标准差，计算结果也相近： 034. 0 06. 2 82.5089.50 1 = = n n d ； 04. 0 53. 2 75.5085.50 2 = = n n d 两组数据算术平均值之差为：0542. 07983.508525.50=yx 其标准差为：0481. 0035. 0033. 0 222 2 2 1 =+=+= 因：= = u n ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 （又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？） 2-19. 对某量进行两组测量，测得数据如下： xi0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.181.201.211.221.261.301.34 1.39 1.411.57 yi0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.311.381.411.481.501.591.60 1.60 1.841.95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】将两组数据按从小到大混合排列成下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi0.62 0.86 1.13 1.131.161.181.20 1.211.22 1.261.30 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xi 1.34 1.39 1.41 1.57 yi1.31 1.31 1.38 1.41 1.481.50 1.591.60 1.60 1.841.95 已知n1=n2=15，因组数据的秩和较小，故以其数据的次序计算秩和： i x T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174 12 因n1=n2=1510，秩和T近似服从正态分布。 + = 12 ) 1( , 2 ) 1( ) ,( 2121211 nnnnnnn NaN 其中数学期望和标准差分别为： a 11.24 12 ) 11515(1515 12 ) 1( , 5 .232 2 ) 11515(15 2 ) 1( 2121211 = + = + = + = + = nnnnnnn a 则置信系数t为： 43. 2 11.24 5 .232174 = = = aT t 选取置信概率99%（显著度0.01） ，即取495. 0)(= t，由附录表1查得：， 60. 2= a t 因60. 243. 2=，故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。 再对剩余的14个测得值重新计算，得： 50.28 14 1 14 1 = =i i xx , 0337. 0 114 0148. 0 1 14 1 2 = = = = n i i 1011. 00337. 033 =， 由表知第14个测得值的残余误差：1011. 0317. 0 )14( =，故也含粗大误差，应剔除。 再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。 用格罗布斯准则判别 已经计算出15个测量数据的统计特征量：57.28=x，265. 0=。 将测得的数据按从小到大的顺序排列，有： 40.28 )1 ( =x， 17. 04 .2857.28 )1 ( = xx 52.29 )15( =x， 95. 057.2852.29 )15( = xx 首先判别是否含有粗大误差： )15( x585. 3 265. 0 57.2852.29 )15( )15( = = = xx g 查表2-13得： 41. 2)05. 0 ,15( 0 =g 则： 41. 2)05. 0 ,15(585. 3 0)15( =gg 故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。 再对剩下的14个测得值计算，判断是否含有粗大误差。已知： )1 ( x50.28 =x, 034. 0 = 94. 2 034. 0 40.2850.28 )1( )1( = = = xx g 查表2-13得： 37. 2)05. 0 ,14( 0 =g 则： 37. 2)05. 0 ,14(94. 2 0)1( =gg 故第14个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。 再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。 用狄克松准则判别 将测得的数据按从小到大的顺序排列，有： 52.29 ,53.28 , ,49.28 ,40.28 )15()14()13()3()2()1 ( = =xxxxxx 判断最小值与最大值是否包含粗大误差。因n=15，以统计量和计算 ) 1 ( x )15( x 22 r 22 r 04. 1 49.2852.29 53.2852.29 )3()15( )13()15( 22 = = = xx xx r ， 692. 0 53.2840.28 49.2840.28 )13()1( )3()1 ( 22 = = = xx xx r 14 查表2-14得， 因：525. 0)05. 0 ,15( 0 =r)05. 0 ,15(04. 1 022 rr=和 )05. 0 ,15(692. 0 0 22 rr= 故： )和 （即所测的第4和第14个测量值）包含粗大误差，应予剔除。 1 ( x )15( x 再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。 2-21. 对某一个电阻进行200次测量，测得结果列表如下： 测得电阻值 R/ 12201219 1218 121712161215121412131212 1211 1210 该电阻值出现次数 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1 绘出测量结果的统计直方图，由此可得到什么结论？ 求测量结果并写出表达式。 写出测量误差概率分布密度函数式。 【解】测量结果的统计直方图如下。由此可看出电阻值的阻值偏差基本符合正态分布。 测量结果的统计直方图 121512141212121312111210 10 20 40 30 50 60 测得电阻值 12191220121812161217 出 现 次 数 可以把200次等精度测量看作11组不等精度的测量 （每组测量次数不同） 。 根据测量次数确 定各组的权，有： 1 , 9 ,19 ,40 ,54 ,43 ,21 , 8 , 3 , 1 1110987654321 =ppppppppppp = = 11 1 200 i i p 选取电阻参考值。求加权算术平均值： 1215 0 =R 06.1215 200 ) 5(1) 4(1) 3(9) 2(19) 1(40054143221384351 1215 )( 11 1 11 1 0 0 = + += += = = i i i ii p RRp RR 求各组残余误差RRi i = 06. 0 ,94. 0 ,94. 1 ,94. 2 ,94. 3 ,94. 4 654321 = 06. 5 ,06. 4 ,06. 3 ,06. 2 ,06. 1 1110987 = 15 0036. 0 ,8836. 0 ,7636. 3 ,6436. 8 ,5236.15 ,4036.24 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 = 6036.25 ,4836.16 ,3636. 9 ,2436. 4 ,1236. 1 2 11 2 10 2 9 2 8 2 7 = 求加权算术平均值的标准差： 5 . 0 200) 111( 28.509 ) 1( 1 1 2 = = = = = m i i m i ii x pm p 求加权算术平均值的极限误差：因该测量基本服从正态分布，取置信系数，则最后结果 的极限误差为： 3=t 5 . 15 . 033 lim = x R 写出最后测量结果为：)( 5 . 106.12153= x RR 测量误差概率分布密度函数式为：由 )2( 2 2 2 1 )( =ef ，得： 5 . 0 )06.1215( )5 . 02( )06.1215(2 2 2 798. 0 25 . 0 1 )( = = R R eeRRf 16 故测量结果为：VlimV = 77795.703729.1 (mm3) 3-3 长方体的边长分别为，测量时：标准差均为 123 ,a a a；标准差各为 123 , 。试求体 积的标准差。 【解】长方体体积计算式：，则体积的标准差为： 321 aaaabcV= 2 3 32 2 22 1 1 321 2 321 2 231 2 132 2 3 3 2 2 2 2 1 1 )()()()()()( )()()( aaa aaaaaaaaa a V a V a V V +=+= + + = 标准差均为时，则体积的标准差为： 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 32 2 22 1 1 321 111 )()()()()()( aaa V aaa V aaa aaa V +=+=+= 标准差各为 123 , 时，则体积的标准差为： 2 3 32 2 22 1 1 )()()( aaa V V += 3-4 测量某电路的电流， 电压22.5I =mAV12.6U =， 测量的标准差分别为 0.5, I mA=0.1 U V=， 求所耗功率及其标准差PUI= P 。 【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为： (W) 2835. 06 .12105 .22 3 = UIP 所耗功率标准差 P (W) 1069. 6100625. 569.39) 1 . 0105 .22()105 . 06 .12( )()()()( 332323 2222 =+=+= += + = UIUIP IU U P I P 3-5 已知2.00.1,3.00.2 xy xy=，相关系数0 xy =，试求 3 x y=的值及其标准差。 【解】若不考虑测得值的误差，计算其值： yx和 885. 20 . 30 . 2 3 3 =yx 已知2 . 0 , 1 . 0= yx ，则的标准差： 313. 0077. 0021. 0)2 . 03 3 1 2() 1 . 03( ) 3 1 ()( )()( 2 3 2 23 2 3 2 2 3 22 =+=+= += + = yxyx yxy yx 2 3-6 已知 x 与 y 的相关系数1 xy = ，试求 2 uxay=+的方差 2 u 。 【解】属于函数随机误差合成问题。由教材式（3-13）有： 22222 22222 )2() 1(22)(2 2)()( yxyxyx yxxyyxu axaxax y u x u y u x u =+= + + = 3-7 通过电流表的电流I与指针偏转角服从下列关系：tanIC=。式中 C 为决定于仪表结 构的常数，两次测得 7 5.031 10CA = 1 6171= o ， 2 43 321= o 。试求两种情况 下的 12 ,I I及其极限误差，并分析最佳测量方案。 【解】因tanIC= CI=tan，由三角函数随机误差（极限误差）计算公式（3-21） ，有： 2222 cos)(cos CI f I I = =， 2lim 2 lim 22 lim cos)(cos C I I I f = = 2 lim lim cos C I = （1） 当 1 =时，把代入关系式，有： 1 176o= (A) 1054 . 5 176tan10031 . 5 tan 87 11 = o CI 相应的极限误差为： (A) 10481 . 1 176cos )60180(110031 . 5 cos 10 2 7 1 2 1lim 1lim = = o C I 当 2 =时，把代入关系式，有： 2 3243o= (A) 10780 . 4 3243tan10031 . 5 tan 77 22 = o CI 相应的极限误差为： (A) 10784 . 2 3243cos )60180(110031 . 5 cos 10 2 7 2 2 2lim 2lim = = o C I 根据求得测量电流的误差传递式（1） ，欲使极限误差I lim 变小，必须满足0 cos2 = C 或为最小， 因C为常数，这意味着只能是最大。又因电流表指针偏转角在 2 cos0范围内变化， 当20时，单调下降，为使 2 cos 2 cosC趋小，应该愈小愈好，即测小电流误差 小。上述计算结果验证了该方案的正确性。 3 当2时，单调增加，为使 2 cos 2 cosC趋小，应该愈大愈好。 3-8 如图 3-6 所示， 用双球法测量孔的直径 D， 其钢球直径分别为， 测出距离分别为， 试求被测孔径 D 与各直接测量量的函数关系 12 ,d d 12 ,H H 1212 (,)Df d dH H=及其误差传递系数。 【解】由几何关系易求被测孔径 D d2 D d1 H2 H1 )()( 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 2 1 ( 2 1 2 1 21221121 2 2211 2 2121 HHdHHddd HdHdddddD += += 各直接测量量的误差传递系数如下： + + += 211 212 1 1 2 1 HHd HHd d D + + += 212 211 2 1 2 1 HHd HHd d D )( 22 2 1 212211 2121 1 HHdHHd HHdd H D + + = 1 212211 2121 2 )( 22 2 1 H D HHdHHd HHdd H D = + + = 图 3-6 3-9 按公式求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm，h 约为 20cm，要使体积的相对误差 等于 1，试问 r 和 h 测量时误差应为多少？ 2 Vr=h 【解】已知圆柱体的半径和高度分别为：cmhcmr20,2=，则可计算出圆柱体的体积： 322 0 )( 328.2512021416. 3cmhrV= 而体积的绝对误差为： )(51. 2%1328.251%1 3 0 cmV V = 测量项目有 2 项，n=2，且按等作用原则分配误差，则可得测量半径r与高度的极限误差： h )(071. 0)(0071. 0 2021416. 32 1 2 51. 2 2 11 mmcm rhnrVn VV r = = = )(41. 1)(141. 0 21416. 3 1 2 51. 211 22 mmcm rnhVn VV h = = = 即：允许r的测量误差为0.071mm，高度的测量误差为1.41mm。 h 3-10 假定从支点到重心的长度为 L 的单摆振动周期为 T，重力加速度可由公式2TL中 给出。若要求测量 g 的相对标准差 g= 0.1% g g，试问按等作用原则分配误差时，测量 L 4 和 T 的相对标准差应是多少？ 【解】可直接测量单摆长度 L 和单摆振动周期 T，然后按下式计算重力加速度， 2 2 4 T L g = 影响重力加速度