电路分析基础第8章.ppt

第8章 电路的暂态分析,8.2 一阶 电路的 暂态分析,8.1 换路 定律,8.4 二阶 电路的零 输入响应,8.3 一阶 电路的 阶跃响应,本章教学目的及要求,了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一阶电路中暂态过程的规律；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解二阶电路自由振荡的过程。,8.1 换路定律,学习目标：,了解暂态分析中的一些基本概念；理解 “换路”的含义；熟悉换路定律的内容及 理解其内涵，初步掌握其应用。,8.1.1 基本概念,1.状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态 变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。,2.换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电 路接通、断开或结构和参数发生变化等。,3.暂态：动态元件L的磁场能量WL=1/2LI2和C的电场 能量WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定 产生变化，由于这种变化持续的时间非常 短暂，通常称为“暂态”。,4.零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有 原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在动 态元件原始能量作用下引起的电路响应。,5.零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部 输入激励的作用下引起的电路响应。,6.全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储 能也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。,8.1.2 换路定律,由于能量不能发生跃变，与能量有关的iL和uC， 在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路 前一瞬间的原有值不变。,换路定律用公式可表示为：,换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还 未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。,暂态过程产生的原因,电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬 间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元 件上不存在暂态过程。,电阻电路,电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬 间均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。,R-L电路,电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一 瞬间也遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的电能,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路也存在过渡过程。,R-C电路,1.,2.,根据换路后的等效电路，应用电路基 本定律确定其它电量的初始值。,初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。,电路初始值的确定,求解要点,根据换路前一瞬间的电路，应用电路 基本定律确定iL(0+）和uC(0+）。,例1,解,已知 iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0，试求 S 闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。,根据换路定律可得：,可得t = 0+时等效电路如下,iL(0+) = iL(0) = 0，相当于开路,uC(0+) = uC(0) = 0，相当于短路,其他各量的初始值为：,例2,解,根据换路前电路求uC(0+）,换路前电路已达稳态，t=0时S打开，求 iC(0+) 。,画出t=0+等效电路图如下,根据t=0+等效电路可求得iC(0+）为,例3,解,根据换路前电路求iL(0+）,换路前电路已达稳态，t=0时S闭合，求 uL(0+) 。,画出t=0+等效电路图如下,根据t=0+等效电路可求得uL(0+）为,uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考 方向相反，即与iL(0+)非关联，实际向外供出能量。,1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)；,求初始值的一般步骤,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；,3. 画出t=0+的等效电路图： uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)0时相当电压源；,iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)0时相当电流源；电 压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电 感电流的参考方向应保持相同。,4. 由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。,8.2 一阶电路的暂态分析,学习目标：,理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深 刻理解时间常数的概念及物理意义；牢 固掌握一阶电路的三要素法。,8.2.1 一阶电路的零输入响应,1. RC电路的零输入响应,只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路， 称为一阶电路。,左图所示电路在换路前已 达稳态。t=0时开关由位置1迅 速投向位置2，之后由uC (0+) 经R引起的电路响应称为RC电 路的零输入响应。,根据RC零输入响应电路可 列写出电路方程为：,这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解 可得：,式中的=RC称为一阶电路的时间常数。如果让 电路中的US不变而取几组不同数值的R和C，观察电 路响应的变化可发现：RC值越小，放电过程进行得 越快；RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明RC 放电的快慢程度取决于时间常数R和C的乘积。,式中R用，C用F时，时间常数的单位是秒s。 如果我们让上式中的时间t 分别取1、2直至5， 可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：,由表可知，经历一个的时间，电容电压衰减到 初始值的36.8%；经因两个的时间，电容电压衰减 到初始值的13.5%；经历35时间后，电容电压的数 值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷， 但在工程上一般认为35暂态过程基本结束。,RC过渡过程中响应的规律可以用曲线来描述：,RC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按 指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下 方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：,1. RL电路的零输入响应,左图所示电路在换路前已 达稳态。t=0时开关闭合，之后 电流源不起作用，暂态过程在 R和L构成的回路中进行，仅由 iL (0+) =I0在电路中引起的响应 称为RL电路的零输入响应。,根据RL零输入响应电路可列写出电路方程为：,若以iL为待求响应，可得上式的解为：,式中,称为RL一阶电路的时间常数，其大小,同样反映了RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。,电感元件两端的电压：,电路中响应的波形图如左下图所示：,显然RL一阶电路的零输入响 应规律也是指数规律。,1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减 到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能 元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；,一阶电路的零输入响应分析归纳,2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性， 对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数 来体现的；,3.原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍， 这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入 线性。,8.2.2 一阶电路的零状态响应,1. RC电路的零状态响应,RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按 指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电 过程：充电电流iC按指数规律衰减；电容电压uC按指 数规律增加，用曲线可描述为：,图示电路在换路前电容元件的 原始能量为零，t=0时开关S闭合 之后电容上电压、电流的变化 称为RC电路的零状态响应。,显然在RC充电电路中， 电容元件上的电压与电 流方向关联，元件向电 路吸取电能建立电场。,RC零状态响应电路中的计算公式,由RC零状态响应电路图可得 过渡过程结束时电容的极间 电压(即换路后的新稳态值),则电容电压的零状态响应为：,电容支路电流的零状态响应：,2. RL电路的零状态响应,图示电路在换路前电感元件上的 原始能量为零，t=0时开关S闭合。 之后电感上电压、电流的变化称为 RL电路的零状态响应。,RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中 元件两端的电压uL按指数规律衰减(即只存在过渡过程 中)；电感电流iL按指数规律上升；电阻电压UR=iR按 指数规律增长，用曲线可描述为：,显然，在RL零状态响 应电路中，电感元件是建 立磁场的过程，因此其电 压、电流方向关联。,RL零状态响应电路中的计算公式,RL零状态响应电路换路结 束时电感电流的新稳态值：,因此电感电流的零状态响应为：,电感元件自感电压的零状态响应：,1.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化 的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律 衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压 和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动 态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；,一阶电路的零状态响应分析归纳,2.零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性， 也是通过时间常数来体现其特性的。RL一阶电 路的时间常数=L/R；,3.在零状态响应公式中的()符号，代表换路后的新 稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相 同。,8.2.3 一阶电路的全响应,电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动 态元件上又存在原始能量(换路前uC和iL不为零)，当 电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下 所引起的电路响应称为全响应。,上述两电路为RC和RL典型的一阶全响应电路。,RC和RL全响应电路的解可表示为：,全响应 = 零输入响应零状态响应,例,解,图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试 求t 0时的uC(t）和iC(t)。,根据换路定律可得,电路的时间常数,零输入响应uC(t) ：,以电容电压为例，让其零输入响应用uC(t)表示； uC(t)“表示零状态响应，则有：,全响应uC(t)：,电容电流的全响应iC(t)：,电容电压的稳态值：,零状态响应uC(t)“：,由全响应结果可以看出，前面的常数6为稳态分量， 后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此：,全响应=稳态分量+暂态分量,如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示响应的初始值，f () 表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的全响应可表示为：,8.2.4 一阶电路暂态分析的三要素法,上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。,式中初始值f (0+)、稳态值 f () 和时间常数称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。,由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。,显然，应用三要素法求解一阶电路的响应时，只 要求出其初始值、稳态值及时间常数，代入三要素 法公式中即可。,例,解,已知图中U1 = 3 V， U2 = 6 V，R1= 1 k ，R2 = 2 k，C = 3 F ，t 0 时电路已处于稳态。用三要素法求 t 0 时的 uC(t)，并画出变化曲线。,先确定初始值uC(0+)：,再确定稳态值uC()：,最后确定时间常数：,将初始值、稳态值及时间常数代入三要素公式可得,电容电压的变化曲线为：,应用三要素法求解响应的步骤：,1. 确定初始值 f (0+),初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。 再作t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此电路中C用电压源U0代替， L用电流源I0代替;若uC(0+) =0 或iL(0+)=0，则C用短路线代替，L视为开路。作t=0+ 等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。,2. 确定稳态值 f (),作t=的等效电路，暂态过程结束后，电路进入 新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f() 。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。,3. 确定时间常数,RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中R等于：将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0)。,参看课本P121页例题8.5 。,8.3 一阶电路的阶跃响应,学习目标：,8.3.1 单位阶跃函数,(t)的波形如右图示，它在(0-，0+) 时域内发生了单位阶跃。,单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：,理解单位阶跃函数的概念及物理意义， 明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶 跃响应在电路分析中的作用。,(t) =,0 t 0-,1 t 0+,注意：(t) 在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。,单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通 常在电路中用来表示开关在t=0时的动作。,单位阶跃(t)实质上反映了电路在t=0时刻把一个零状 态电路与一个1V或1A的独立源相接通的开关动作。,(t-t0)的波形如右图示：,如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是(t)在时间上 延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶 跃，记作：,(t-t0) =,0 t t0,注意：(t-t0) 在t0处不连续，函数值由0跃变到1。,1 t t0,下图所示矩形脉冲波f(t)，根据阶跃函数的原理，可 以将其看作是由一个(t)与一个(t-t0)的合成波：,即： f(t)=(t) (t-t0),即： f(t)=(t-t1) (t-t2),8.3.2 单位阶跃响应,已知电路中u=51(t-2)V，uC(0+)=10V，求电路的 阶跃响应i。,当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应 称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。,解,例,零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独 作用下的初始值：,再求u单独作用下的初始值：,时间常数：,应用叠加定理求得响应：,思考 练习,1.单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在 电路分析中有什么作用？,2.说说(-t)、(t+2)和(t-2)各对应时间轴上的哪一 点？。,3.试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。,8.4 二阶电路的零输入响应,学习目标：,前面讨论的一阶电路中只含有一个动态元件