材料力学课后习题答案5章.pdf

1 第五章 弯曲内力 第五章 弯曲内力 题号题号 页码页码 5-3.1 5-5.2 5-7.3 5-8.4 5-9.5 5-10.9 5-11.10 5-13.11 5-14.13 5-15.14 (也可用左侧题号书签直接查找题目与解) (也可用左侧题号书签直接查找题目与解) 5-3 试证明，在集中力试证明，在集中力 F 作用处（图作用处（图 a） ，梁微段的内力满足下列关系：） ，梁微段的内力满足下列关系： 左右左右 MMFFF= , SS 而在矩为而在矩为 Me的集中力偶作用处（图的集中力偶作用处（图 b） ，则恒有） ，则恒有 eSS ,MMMFF= 左右左右 题题 5-3 图图 证明：根据题图 a，由 证明：根据题图 a，由 0d0 SS =+= 右左 ，FxqFFFy 保留有限量，略去微量 保留有限量，略去微量xqd后，得后，得 FFF= 左右SS 为了更一般地反映 为了更一般地反映F作用处剪力的突变情况（把向下的作用处剪力的突变情况（把向下的F也包括在内） ，可将上式改写为 也包括在内） ，可将上式改写为 FFF= 左右SS (a) (a) 2 仍据题图 a，由 仍据题图 a，由 0d) 2 d (d) 2 d (0 S =+= 左左右 ，MxF x xq x FMMC 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 左右 MM= (b) 足标 (b) 足标C系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由 0d0 SS =+= 右左 ，FxqFFy 略去微量 略去微量xqd后，得后，得 左右SS FF= (c) 仍据题图 b，由 (c) 仍据题图 b，由 0d) 2 d (d0 Se = 左左右 ，MxF x xqMMMC 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 e MMM= 左右 为了更一般地反映 为了更一般地反映 e M作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的 e M也包括在内） ，可将上式改写 为 也包括在内） ，可将上式改写 为 e MMM= 左右 (d) (d) 5-5 已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。 题题 5-5 图图 解：根据题图中所给的解：根据题图中所给的 S F图和图和M图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的 外力图，示如图 图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的 外力图，示如图 5-5a 和和 b。 。 3 图 图 5-5 5-7 图示外伸梁，承受均布载荷图示外伸梁，承受均布载荷 q 作用。试问当作用。试问当 a 为何值时梁的最大弯矩值（即为何值时梁的最大弯矩值（即| M | max）最小。 ）最小。 题题 5-7 图图 解：解：1.求支反力 由对称性可知，二支座的支反力相等（见图 .求支反力 由对称性可知，二支座的支反力相等（见图 5-7a） ，其值为 ） ，其值为 )( 2 = ql FF DyCy 图 图 5-7 2画弯矩图 根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图 b 所示。 画弯矩图 根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图 b 所示。 3确定确定 a 值 由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、 值 由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、DC与与处弯矩的绝对值相等时，梁的最 大弯矩值才可能最小，由此得 处弯矩的绝对值相等时，梁的最 大弯矩值才可能最小，由此得 22 2 1 2 1 8 1 qaqlaql= 解此方程，得 解此方程，得 la 2 21 = 舍去增根，最后确定 舍去增根，最后确定 4 l.la2070 2 12 = = 5-8 图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为 F。试问：。试问： (1) 小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值；小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值； (2) 小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。 题题 5-8 图图 解：解：1.求支反力 由图 .求支反力 由图 5-8a 所示小车位置，可求得两端的支反力，其值分别为 所示小车位置，可求得两端的支反力，其值分别为 )(0 )2()22(dld l F Fdl l F F ByAy +=， 图 图 5-8 2画剪力、弯矩图 根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图 b 和 c 所示。 画剪力、弯矩图 根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图 b 和 c 所示。 3确定最大弯矩值及小车位置 由 确定最大弯矩值及小车位置 由M图可以看出最大弯矩必在图可以看出最大弯矩必在F作用处。 求左轮处之作用处。 求左轮处之 1 M， 并求其极值， 即可得到， 并求其极值， 即可得到 max M。 。 )(0 2)2()( 2 1 dldl l F FM Ay = (a) 由 (a) 由 0 d )(d 1 = M 5 得得 4 2dl = (b)(b) 此即左轮处此即左轮处 1 M达最大值的左轮位置。达最大值的左轮位置。 将式将式(b)代入式代入式(a)，得弯矩的最大值为，得弯矩的最大值为 2 max )2( 8 dl l F M= (c) 由对称性可知，当 (c) 由对称性可知，当4/ )32(dl=时，右轮处的时，右轮处的 2 M达到最大，其值同式(c)。 达到最大，其值同式(c)。 4确定最大剪力值及小车位置 由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为 确定最大剪力值及小车位置 由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为 )(0 )2( )(0 )22( 2S 1S dld l F FF dldl l F FF By Ay += = 二者都是 二者都是的一次函数，容易判断，当的一次函数，容易判断，当0或或)(dl时，即小车无限移近梁的左端或 右端时，梁支座内侧截面 时，即小车无限移近梁的左端或 右端时，梁支座内侧截面 A+ 或或 B- 出现最大剪力，其绝对值为出现最大剪力，其绝对值为 )2( max s dl l F F= (d) 5-9 图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。 题题 5-9 图图 (a)解：解：1.建立剪力、弯矩方程 设截面 .建立剪力、弯矩方程 设截面x处的载荷集度为处的载荷集度为)(xq，由图，由图 5-9a(1)可知， 可知， x l q xq 0 )(= 6 图 图 5-9a 由图 由图 5-9a(2)可得，剪力与弯矩方程分别为 (2)可得，剪力与弯矩方程分别为 )(0 63 2 )( )(0 22 )( 3 0 2 0 s lx l xqxx xqM lx l xqxxq F = = = (b) (a) 2画剪力、弯矩图 由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹 曲线。 算出 画剪力、弯矩图 由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹 曲线。 算出BA与两端的两端的MF与 s 值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出MF与 s 图，如图图，如图 5-9a （3）和（4）所示。 （3）和（4）所示。 (b)解：解：1.求支反力 .求支反力 7 图 图 5-9b 由梁的对称条件可知， 由梁的对称条件可知， )( 4 1 0 =lqFF ByAy 2建立剪力、弯矩方程 设截面 建立剪力、弯矩方程 设截面 1 x处的载荷集度为处的载荷集度为)( 1 xq，由图，由图 5-9b(1)可知， 可知， ) 2 (0 2 )( 11 0 1 l xx l q xq= 由此可得，左半段梁的剪力与弯矩方程分别为 由此可得，左半段梁的剪力与弯矩方程分别为 ) 2 (0 343 2 )( ) 2 (0 42 )( 1 3 10 1 011 11 1 2 10011 S l x l xq x lqxx xqxFM l x l xqlqxxq FF Ay Ay = = = (d) (c) 根据问题的对称性（对于 根据问题的对称性（对于 S F，是反对称的） ，可写出右半段梁的剪力与弯矩方程如下： ，是反对称的） ，可写出右半段梁的剪力与弯矩方程如下： ) 2 (0 3 q 4 ) 2 (0 q 4 2 3 20 2 0 2 2 200 S l x l x x lq M l x l xlq F = += (f) (e) 3画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图 依据式依据式(c)和和(e)可绘剪力图，如图可绘剪力图，如图 5-9b(2)所示；依据式所示；依据式(d)和和(f)可绘弯矩图，如图可绘弯矩图，如图 5-9b(3) 所示。所示。 (c)解：解：1求支反力求支反力 8 图图 5-9c 由由0= B M和和0= y F可得 可得 )( 24 11 )( 24 7 = ql F ql F ByAy ， 2建立剪力、弯矩方程 坐标如图 建立剪力、弯矩方程 坐标如图 5-9c(1)所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为 所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为 h)( ) 2 (0 224 11 2 g)( ) 2 (0 324 7 3 2 )( f)( ) 2 (0 24 11 ) e( ) 2 (0 24 7 2 )( 2 2 22 2 222 1 3 1 1 11 111 222S2 1 2 111 S1 l xx q x ql x q xFM l x l qx x qlxx xqxFM l xqx ql qxFF l x l qxqlxxq FF By Ay By Ay = = +=+= = = 3画剪力、弯矩图 依据式 （e） 与(f)可绘剪力图， 如图 画剪力、弯矩图 依据式 （e） 与(f)可绘剪力图， 如图5-9c(2)所示； 依据式(g)与(h)可绘弯矩图， 如图(2)所示； 依据式(g)与(h)可绘弯矩图， 如图5-9c(3) 所示。注意在 (3) 所示。注意在 24 11 2 l x =处有处有0 S2 =F， 2 M有极大值，其值为 有极大值，其值为 2 maxmax2 1152 121 qlMM= (d)解：解：1建立剪力、弯矩方程 建立剪力、弯矩方程 9 图 图 5-9d 坐标如图 坐标如图 5-9d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为 所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为 ) l () 2 (0 ) 6 ( 42 k)() 2 (0 3 ) j ( ) 2 (0 4 ) i ( ) 2 (0 2 )( 22 2 22 1 3 1 1 22S2 1 2 111 S1 l xx lql x q M l x l qx M l xqx ql F l x l qxxxq F += = += = = 2画剪力、弯矩图 依据式(i)与(j)可绘剪力图， 如图 画剪力、弯矩图 依据式(i)与(j)可绘剪力图， 如图 5-9d(2)所示； 依据式(k)与(2)所示； 依据式(k)与)(l可绘弯矩图， 如图可绘弯矩图， 如图 5-9d(3) 所示。注意在 (3) 所示。注意在4 2 /lx=处有处有0 S2 =F，此处，此处 2 M有极值，其绝对值为 有极值，其绝对值为 96 7 2 max 2 ql M= 5-10 在图示梁上，作用有集度为在图示梁上，作用有集度为 m = m (x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力 与弯矩间的微分关系。 的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力 与弯矩间的微分关系。 题题 5-10 图图 解：在解：在x处取处取xd微段，画其受力图，如图微段，画其受力图，如图 5-10 所示。 所示。 10 图 图 5-10 根据图示，由 根据图示，由 =+=0)d(dd0 S xxmxFMMMMC， 得 ， 得 xxmxFM)d(dd S += 或写成或写成 mF x M += S d d (a) 其中 (a) 其中C系指微段右端截面的形心。 又由 系指微段右端截面的形心。 又由 0d0 SSS =+= FFFFy， 得 ， 得 0d S =F 或写成或写成 0 d d S = x F (b)(b) 式式(a)和和(b)即为本题要求建立的微分关系。即为本题要求建立的微分关系。 5-11 对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度 q 或扭力偶矩集度或扭力偶矩集度 m）与相应 内力（轴力或扭矩）间的微分关系。 ）与相应 内力（轴力或扭矩）间的微分关系。 题 题 5-11 图图 解：在解：在x处取处取xd微段，画其受力图，如图微段，画其受力图，如图 5-11a 和和 b 所示。 所示。 11 图 图 5-11 根据图 a，由 根据图 a，由 0)d(d0 NNN =+= FxxqFFFx， 得 ， 得 0)d(d N =+xxqF 或写成或写成 q x F = d d N (a) 根据图根据图 b，由，由 0)d(d0=+= TxxmTTM x ， 得 得 0)d(d=+xxmT 或写成或写成 m x T = d d (b) 5-13 图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷 q 作用。试画杆的内力图，并利 用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。 作用。试画杆的内力图，并利 用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。 题题 5-13 图图 (a)解:坐标自左端向右取，内力解:坐标自左端向右取，内力00 sN =FF，故内力图只剩下，故内力图只剩下M图了，如图图了，如图 5-13a 所示。 所示。 图 图 5-13a 12 此种受力情况，相当于梁上承受集度为此种受力情况，相当于梁上承受集度为qhm =的分布力偶的情况，利用微分关系（见题的分布力偶的情况，利用微分关系（见题 5-10 式(a)） 。 式(a)） 。 mF x M += s d d 可以检查 可以检查M图的正确性。这里，图的正确性。这里，qhmF=，0 S 为正的常值，表明为正的常值，表明M图应为上倾斜直线。 图中正是这种斜直线，说明所画 图应为上倾斜直线。 图中正是这种斜直线，说明所画M图是正确的。 图是正确的。 (b)解：坐标自左端向右取，剪力、弯矩图及轴力图依次示于图解：